Wyznaczmy równania kanonicze okręgów.

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$  

${\left(x-2\right)}^2-4+{\left(y+1\right)}^2-1+1=0$     

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

Mamy środek pierwszego okręgu i jego promień

$O_1\left(2,-1\right),r_1=2$  

Drugi okrąg

$x^2+y^2=4$  

Mamy

$O_2\left(0,0\right),r_2=2$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że jedną z osi symetrii jest prosta przechodząca przez punkty O₁ i O₂. Jej współczynnik kierunkowy wynosi

$a_{O_1{O}_2}=\frac{0-\left(-1\right)}{0-2}=-\frac{1}{2}$  

Prosta jest postaci

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu O₂(0,0) otrzymujemy

$b=0$  

Zatem prosta ma postać

$y=-\frac{1}{2}x\mid \cdot 2$  

$2y=-x$  

$x+2y=0$  

---

Zauważmy, że drugą z osi symetrii jest prosta prostopadła do powyższej prostej przechodząca przez środek odcinka O₁O₂. Zatem prosta jest postaci

$y=2x+b$  

Wyznaczmy środek

$S_{O_1{O}_2}=\left(\frac{2+0}{2},\frac{-1+0}{2}\right)=\left(1,-\frac{1}{2}\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu S otrzymujemy

$-\frac{1}{2}=2\cdot 1+b$  

$b=-2\frac{1}{2}$  

Zatem prosta jest opisana równaniem

$y=2x-2\frac{1}{2}$

$y=2x-\frac{5}{2}\mid \cdot 2$  

$2y=4x-5$  

$-4x+2y+5=0$  

$4x-2y-5=0$