$\text{a)}$  

$x^2-4x+1=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12,\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\vee x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$  

---

$\text{b)}$  

$3x^2+7=5x\mid -5x$  

$3x^2-5x+7=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 7=25-84<0$  

Brak rozwiązań rzeczywistych.

---

$\text{c)}$  

$3{\left(x-1\right)}^2+13=10x$  

$3\left(x^2-2x+1\right)+13=10x$  

$3x^2-6x+3+13=10x\mid -10x$  

$3x^2-16x+16=0$  

$\Delta ={\left(-16\right)}^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$x=\frac{16-8}{2\cdot 3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\vee x=\frac{16+8}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4$  

---

$\text{d)}$  

$2\left(3x+5\right)+\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$  

$6x+10+x^2-3x+2x-6=0$  

$x^2+5x+4=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{-5-3}{2}=\frac{-8}{2}=-4\vee x=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

---

$\text{e)}$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+x-1\le 0\mid \cdot \left(-2\right)$  

$x^2-2x+2\ge 0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8<0$  

Ramiona paraboli są skierowane w górę, zatem cała parabola znajduje się nad osią x (brak miejsc zerowych).Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, czyli

$x\in \mathbb{R}$  

---

$\text{f)}$  

$3x^2\ge 8\mid -8$  

$3x^2-8\ge 0$  

$\left(\sqrt{3}x-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}x+2\sqrt{2}\right)\ge 0$  

$x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\vee x=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,-\frac{2\sqrt{6}}{3}⟩\cup ⟨\frac{2\sqrt{6}}{3},+\infty )$  

---

$\text{g)}$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2<x^2$  

$x^2-4x+4+x^2-2x+1<x^2$  

$2x^2-6x+5<x^2\mid -x^2$  

$x^2-6x+5<0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$x=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1\vee x=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(1,5\right)$  

---

$\text{h)}$  

${\left(x-3\right)}^2\ge \left(x-3\right)\left(2x+1\right)$  

$x^2-6x+9\ge 2x^2+x-6x-3$  

$x^2-6x+9\ge 2x^2-5x-3\backslash \mid -2x^2+5x+3$  

$-x^2-x+12\ge 0\mid :\left(-1\right)$  

$x^2+x-12\le 0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\vee x=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨-4,3⟩$