a) Mamy

$f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2-4=x^2+2x+1-4=x^2+2x-3$  

Z postaci kanonicznej możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

$W=\left(-1,-4\right)$  

Mamy

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x=\frac{-2-4}{2}=-3\vee x=\frac{-2+4}{2}=1$   

Wykres funkcji:   

Własności funkcji:

$D_f=\mathbb{R}$  

$ZW=⟨-4,+\infty )$  

Miejsca zerowe: -3 oraz 1.

$f\left(x\right)>0:x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)<0:x\in \left(-3,1\right)$  

$f\searrow :(-\infty ,-1⟩$

$f\nearrow :⟨-1,+\infty )$   

Najmniejsza wartość funkcji wynosi -4 dla argumentu x=-1.

---

b) Mamy

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+x$  

Obliczmy

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 0=1$  

$p=\frac{-1}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$  

$q=\frac{-1}{4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{-1}{-1}=1$  

$W=\left(2,1\right)$  

Wykres funkcji:

Własności funkcji:

$D_f=\mathbb{R}$  

$Z{W}_f=(-\infty ,1⟩$  

Miejsca zerowe: 0 oraz 4.

Funkcja jest malejąca dla  $x\in ⟨2,+\infty )$  

Funkcja jest rosnąca dla  $x\in (-\infty ,2⟩$  

$f\left(x\right)>0:x\in \left(0,4\right)$  

$f\left(x\right)<0:x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

$f\searrow :⟨2,+\infty )$

$f\nearrow :(-\infty ,2⟩$   

Największa wartość funkcji wynosi 1 dla argumentu x=2.

---

c) Mamy

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x-2$  

Obliczmy

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-2\right)=4-4=0$  

$p=\frac{-2}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-2}{-1}=2$  

$q=\frac{-0}{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=0$  

$W=\left(2,0\right)$  

Wykres funkcji:

Własności funkcji:

$D_f=\mathbb{R}$  

$Z{W}_f=(-\infty ,0⟩$  

Miejsca zerowe: 2.

$f\left(x\right)>0:x\in \varnothing$  

$f\left(x\right)<0:x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$f\searrow :⟨2,+\infty )$

$f\nearrow :(-\infty ,2⟩$   

Największa wartość funkcji wynosi 0 dla argumentu x=2.

---

d) Mamy

$f\left(x\right)=3x^2+6x+1$  

Obliczmy

$\Delta =6^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24$  

$p=\frac{-6}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

$q=\frac{-24}{4\cdot 3}=\frac{-24}{12}=-2$  

$W=\left(-1,-2\right)$  

Oraz

$x=\frac{-6-\sqrt{24}}{6}=\frac{-6-2\sqrt{6}}{6}=\frac{-3-\sqrt{6}}{3}\vee x=\frac{-6+\sqrt{24}}{6}=\frac{-6+2\sqrt{6}}{6}=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$  

Wykres funkcji:

Własności funkcji:

$D_f=\mathbb{R}$  

$Z{W}_f=⟨-2,+\infty )$  

Miejsca zerowe: 

$x_1=\frac{-3-\sqrt{6}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{6}}{3}$  

$f\left(x\right)>0:x\in \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)<0:x\in \left(x_1,x_2\right)$  

$f\searrow :(-\infty ,-1⟩$

$f\nearrow :⟨-1,+\infty )$   

Najmniejsza wartość funkcji wynosi -2 dla argumentu x=-1.