a) Wyznaczmy długości boków tego trójkąta.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(5-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{8^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(6-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(6-4\right)}^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(6-5\right)}^2+{\left(6-2\right)}^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$  

Zauważmy, że trójkąt ABC jest prostokątny, ponieważ:

${\left|BC\right|}^2+{\left|AB\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

${\sqrt{17}}^2+{\sqrt{68}}^2={\sqrt{85}}^2$  

$17+68=85$  

$85=85$  

---

b) Obliczmy pole tego trójkąta. Wiemy, że BC i AB to rpzyprostokątne.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot \left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \sqrt{68}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{17}\cdot 2\sqrt{17}=17$    

---

c) Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli środek odcinka AC.

Obliczmy

$S=\left(\frac{-3+6}{2},\frac{4+6}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{10}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},5\right)$  

Wyznaczmy długość promienia tego okręgu.

$\left|SA\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{4}{4}}=\sqrt{\frac{85}{4}}$  

Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC:

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=\frac{85}{4}$