Niech X będzie zmienną losową o wartościach x1, x2, ..., xn przyjmowanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p1, p2, ..., pn. Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę: $EX=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n$

 

Grę nazywamy sprawiedliwą, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0.

Dana jest gra liczbowa polegająca na skreślaniu 6 spośród 49 liczb. 

---

a)

Przyjmujemy, że wygrywamy tylko wtedy, gdy trafimy szóstkę. Wiemy,  że prawdopodobieństwo trafienia szóstki wynosi około 0,000 000 072.

Prawdopodobieństwo tego, że nie trafimy szóstki wynosi więc 1-0,000 000 072=0,999 999 928.

Oznaczmy szukaną wysokość wygranej jako x. Cena jednego zakładu jest równa 1 zł, więc gdy nie trafimy szóstki to przegrywamy 1 zł, a gdy trafimy szóstkę wygrywamy x-1 (uwzględniając koszt zakładu). 

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0, stąd otrzymujemy równanie: 

$0,000000072\cdot \left(x-1\right)+0,999999928\cdot \left(-1\right)=0$  

$0,000000072x-0,000000072-0,999999928=0$  

$0,000000072x=1\mid :0,000000072$  

$x\approx 13888889$  

Odp. Gra ta jest sprawiedliwa, jeśli wysokość wygranej wynosi około 13 888 889 zł. 

---

b)

Z treści zadania wiemy, że:

• z prawdopodobieństwem 0,017 650 404 wygramy 10 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 968 620 wygramy 100 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 018 450 wygramy 1 000 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 000 072 wygramy x zł
• z prawdopodobieństwem 

$1-\left(0,017650404+0,000968620+0,000018450+0,000000072\right)=1-0,0186375=0,9813625$  

przegramy postawioną złotówkę.

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0, stąd otrzymujemy równanie:

$0,017650404\cdot \left(10-1\right)+0,000968620\cdot \left(100-1\right)+0,000018450\cdot \left(1000-1\right)+0,000000072\cdot \left(x-1\right)+0,9813625\cdot \left(-1\right)=0$  

$0,158853636+0,09589338+0,01843155+0,000000072x-0,000000072-0,9813625=0$  

$0,000000072x=0,708184\mid :0,000000072$  

$x\approx 9835888$  

Odp. Gra ta jest sprawiedliwa, jeśli wysokość wygranej wynosi około 9 835 888 zł.

---

c)

Z treści zadania wiemy, że:

• z prawdopodobieństwem 0,017 650 404 wygramy 100 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 968 620 wygramy 1 000 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 018 450 wygramy 10 000 zł
• z prawdopodobieństwem 0,000 000 072 wygramy 10 000 000 zł
• z prawdopodobieństwem 0,981 362 5 przegramy x zł. 

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0, stąd otrzymujemy równanie:

$0,017650404\cdot 100+0,000968620\cdot 1000+0,000018450\cdot 10000+0,000000072\cdot 10000000=x$  

$1,7650404+0,968620+0,18450+0,72=x$  

$3,6381604=x$  

$x\approx 3,64$  

Odp. Cena jednego zakładu powinna wynosić około 3,64 zł.