W pierwszej urnie jest 1 kula biała...- Zadanie 2: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Wzór Bayesa

Niech Ω będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia. Jeśli zdarzenia B₁, B₂, ..., B_n spełniają następujące warunki:

zawsze zachodzi przynajmniej jedno z nich (B₁∪B₂∪...∪B_n=Ω),
prawdopodobieństwo każdego z nich jest dodatnie,
zdarzenia te parami się wykluczają,

to dla dowolnego zdarzenia A⊂Ω o dodatnim prawdopodobieństwie prawdziwy jest wzór:

$P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( B _{k} ) \cdot P ( B ∣ B _{k} )}{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} ) + P ( B _{2} ) \cdot P ( A ∣ B _{2} ) + \dots + P ( B _{n} ) \cdot P ( A ∣ B _{n} )}$

Dane są dwie urny. W pierwszej urnie znajduje się 1 kula biała i 3 kule czarne, a w drugiej 2 kule białe i 4 kule czarne. Z losowo wybranej urny wyciągamy kulę.

Niech B₁ oznacza zdarzenie polegające na wybraniu pierwszej urny, a B₂ - na wybraniu drugiej urny. Zauważmy, że