Dana jest funkcja f określona wzorem

$f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2-8x+m$

Funkcja f jest funkcją kwadratową, czyli m≠-1.  

Niech W=(p, q) będzie wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji. 

Z treści zadania wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest

$ZW=⟨-7,\infty )$  

Stąd wiemy, że q=-7 oraz ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f skierowane są w górę, czyli m+1>0, więc m>-1. 

Wyznaczmy wyróżnik tej funkcji. Mamy:

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot \left(m+1\right)\cdot m=64-4m^2-4m=-4\left(m^2+m-16\right)$   

Korzystając ze wzoru na drugą współrzędną q wierzchołka W mamy: 

$q=-\frac{-4\left(m^2+m-16\right)}{4\cdot \left(m+1\right)}=\frac{m^2+m-16}{m+1}$  

Wiedząc, że q=-7 otrzymujemy równanie: 

$\frac{m^2+m-16}{m+1}=-7\mid \cdot \left(m+1\right)$  

$m^2+m-16=-7m-7$  

$m^2+8m-9=0$  

${\Delta }_m=8^2-4\cdot 1\cdot \left(-9\right)=64+36=100$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=10$  

$m_1=\frac{-8-10}{2\cdot 1}=\frac{-18}{2}=-9<-1$  

$m_2=\frac{-8+10}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem

$\underline{\underline{m=1}}$