Dane jest równanie:

$\left(m+1\right)x^2-4mx+2m+3=0$  

Wyznaczymy wartości parametru m, dla których podane równanie ma pierwiastek podwójny. 

Podane równanie jest równaniem kwadratowym, więc m+1≠0, czyli m≠-1.  

Dodatkowo:

$\Delta =0$  

${\left(-4m\right)}^2-4\cdot \left(m+1\right)\cdot \left(2m+3\right)=0$  

$16m^2-4\left(2m^2+3m+2m+3\right)=0$  

$16m^2-4\left(2m^2+5m+3\right)=0$  

$16m^2-8m^2-20m-12=0$  

$8m^2-20m-12=0\mid :4$  

$2m^2-5m-3=0$  

${\Delta }_m={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=7$  

$m_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$m_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$  

Dla m=-¹/₂ lub m=3 podane równanie ma pierwiastek podwójny. 

• Wyznaczmy podany pierwiastek dla m=-¹/₂. Mamy:

$x_0=\frac{4m}{2\cdot \left(m+1\right)}=\frac{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}+1\right)}=\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{2}}=\underline{\underline{-2}}$  

• Wyznaczmy podany pierwiastek dla m=3. Mamy:

$x_0=\frac{4m}{2\cdot \left(m+1\right)}=\frac{4\cdot 3}{2\cdot \left(3+1\right)}=\frac{12}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\underline{\underline{\frac{3}{2}}}$