Rozwiąż równanie...- Zadanie 3.123: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Mamy

$sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{5}{8}$

Ze wzoru skróconego mnożenia

$(sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{5}{8}$

Z jedynki trygonometrycznej

$1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{5}{8}$

$- 2 sin^{2} x cos^{2} x = - \frac{3}{8}$

$\frac{1}{2} (2 sin x cos x)^{2} = \frac{3}{8}$

Ze wzoru sin2α = 2sinαcosα mamy

$sin^{2} 2 x = \frac{3}{4}$

$sin 2 x = \frac{3}{2} \lor sin 2 x = - \frac{3}{2}$

$sin 2 x = \frac{3}{2} \lor sin (- 2 x) = \frac{3}{2}$

Zatem rozwiązanie

$2 x = \frac{π}{3} + 2 k π \lor 2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π \lor - 2 x = \frac{π}{3} + 2 k π \lor - 2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{6} + k π \lor x = \frac{π}{3} + k π \lor x = - \frac{π}{6} + k π \lor x = - \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

Można to zapisać krócej

$x = \frac{π}{6} + \frac{1}{2} k π \lor x = - \frac{π}{6} + \frac{1}{2} k π, k \in Z$

Ponieważ częściej powtarza się kąt.

b) Mamy

$sin^{4} x + cos^{4} x = cos 4 x$

Ze wzoru skróconego mnożenia

$(sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = cos 4 x$

Z jedynki trygonometrycznej

$1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = cos 4 x$

Ze wzoru cos2α = 1 - 2sin²α mamy

$1 - \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^{2} = 1 - 2 sin^{2} 2 x$

Ze wzoru sin2α = 2sinαcosα mamy

$1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x = 1 - 2 sin^{2} 2 x$

$\frac{3}{2} sin^{2} 2 x = 0$

$sin^{2} 2 x = 0$

Zatem rozwiązanie

$2 x = k π, k \in Z$

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z$

c) Mamy

$sin x t g 2 x + 3 (sin x - 3 t g 2 x) = 33$

$sin x t g 2 x + 3 sin x - 3 t g 2 x = 33$

$sin x t g 2 x - 3 t g 2 x + 3 sin x - 33 = 0$

$t g 2 x (sin x - 3) + 3 (sin x - 3) = 0$

$(sin x - 3) (t g 2 x + 3) = 0$

$sin x = 3 \lor t g 2 x = - 3$

$sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ}, bo - 1 \leq sin x \leq 1$

Stąd

$t g (- 2 x) = 3$

$- 2 x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{6} + \frac{1}{2} k π, k \in Z$

d) Mamy

$t g^{2} x + t g x = \frac{sin 2 x}{1 - sin ^{2} x}$

Ze wzoru sin2α = 2sinαcosα i jedynki trygonometrycznej mamy

$t g^{2} x + t g x = \frac{2 sin x cos x}{cos ^{2} x}$

$t g^{2} x + t g x = \frac{2 sin x}{cos x}$

Korzystając ze wzoru tgx = ^sinx/_cosx zapiszmy

$t g^{2} x + t g x = 2 t g x$

$t g^{2} x - t g x = 0$

$t g x (t g x - 1) = 0$

$t g x = 0 \lor t g x = 1$

Zatem rozwiązanie

$x = k π \lor x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Natalia Wodka

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

11:41

Zobacz lekcję

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.