Liczby x_1, x_2 są pierwiastkami...- Zadanie 10.28: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że równanie kwadratowe:

$(m + 2)^{2} x^{2} + 6 (m + 2) x + m^{2} = 0$

ma dwa pierwiastki x₁ i x₂.

Natomiast funkcja f jest określona za pomocą wzoru:

$f (m) = x_{1} \cdot x_{2}$

Zauważmy, że:

$f (m) = \frac{m ^{2}}{( m + 2 ) ^{2}}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$(m + 2)^{2} \neq = 0$

$m \neq = - 2$

oraz

$Δ > 0 Δ = (6 (m + 2))^{2} - 4 \cdot (m + 2)^{2} \cdot m^{2} = 36 (m^{2} + 4 m + 4) - 4 (m^{2} + 4 m + 4) \cdot m^{2} = = 36 m^{2} + 144 m + 144 - 4 m^{4} - 16 m^{3} - 16 m^{2} = = - 4 m^{4} - 16 m^{3} + 20 m^{2} + 144 m + 144$

dla m=-2 dostajemy:

$- 4 \cdot (- 2)^{4} \cdot 16 \cdot (- 2)^{3} + 20 \cdot (- 2)^{2} + 144 \cdot (- 2) + 144 = = - 64 + 128 + 80 - 288 + 144 = 0$

Dzielimy wielomian za pomocą np. schematu Hornera:

	-4	-16	20	144	144
-2	-4	-8	36	72	0

Dostajemy:

$- 4 m^{2} - 16 m^{3} + 20 m^{20} + 144 m + 144 = = (m + 2) (- 4 m^{3} - 8 m^{2} + 36 m + 72) = = (- 4 m^{2} (m + 2) + 36 (m + 2)) (m + 2) = = (m + 2) (- 4 m^{2} + 36) (m + 2) = - 4 (m + 2)^{2} (m^{2} - 9)$

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$- 4 (m + 2)^{2} (m^{2} - 9) > 0$

$m \in (- 3, - 2) \cup (- 2, 3)$

zatem

$D = (- 3, - 2) \cup (- 2, 3)$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (m) = \frac{2 m ( m + 2 ) ^{2} - m ^{2} \cdot 2 ( m + 2 )}{( m + 2 ) ^{4}} = = \frac{2 m ( m ^{2} + 4 m + 4 ) - 2 m ^{3} - 4 m ^{2}}{( m + 2 ) ^{4}} = = \frac{2 m ^{3} + 8 m ^{2} + 8 m - 2 m ^{3} - 4 m ^{2}}{( m + 2 ) ^{4}} = = \frac{4 m ^{2} + 8 m}{( m + 2 ) ^{4}} = = \frac{4 m ( m + 2 )}{( m + 2 ) ^{4}} = = \frac{4 m}{( m + 2 ) ^{3}}$