Liczby x_1, x_2 są pierwiastkami...- Zadanie 10.27: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Z treści zadania, wiemy, że pierwiastkami równania:

$4 x^{2} - 8 x + m^{2} - 21 = 0$

są liczby x₁, x₂.

Natomiast funkcja f jest określona wzorem:

$f (m) = \frac{1 - x _{1}}{1 + x _{2}} + \frac{1 - x _{2}}{1 + x _{1}}$

$f (m) = \frac{1 - x _{1}}{1 + x _{2}} + \frac{1 - x _{2}}{1 + x _{1}} = \frac{( 1 - x _{1} ) ( 1 + x _{1} ) + ( 1 - x _{2} ) ( 1 + x _{2} )}{( 1 + x _{2} ) ( 1 + x _{1} )} = = \frac{1 - x _{1}^{2} + 1 - x _{2}^{2}}{1 + x _{1} + x _{2} + x _{1} x _{2}} = \frac{2 - ( x _{1}^{2} + x _{2}^{2} )}{1 + x _{1} + x _{2} + x _{1} x _{2}} = = \frac{2 - ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} + 2 x _{1} x _{2}}{1 + x _{1} + x _{2} + x _{1} x _{2}} = \frac{2 - ( \frac{8}{4} ) ^{2} + 2 \cdot \frac{m ^{2} - 21}{4}}{1 + \frac{8}{4} + \frac{m ^{2} - 21}{4}} = \frac{2 - 4 + \frac{m ^{2} - 21}{2}}{3 + \frac{m ^{2} - 21}{4}} = \frac{- 2 + \frac{m ^{2} - 21}{2}}{\frac{12 + m ^{2} - 21}{4}} = \frac{\frac{m ^{2} - 25}{2}}{\frac{m ^{2} - 9}{4}} = \frac{2 ( m ^{2} - 25 )}{m ^{2} - 9}$

Określamy dziedzinę funkcji f:

$m^{2} - 9 \neq = 0 m \neq = 3 \land x \neq = - 3$

oraz

$Δ > 0 64 - 4 \cdot 4 (m^{2} - 21) = 64 - 16 m^{2} + 336 = 400 - 16 m^{2}$

$400 - 16 m^{2} > 0 16 m^{2} < 400 m^{2} < 25 ∣ m ∣ < 5 m < 5 \land m > - 5$

Zatem

$D = (- 5, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, 5)$

Obliczamy pochodną funkcji f:

$f^{'} (m) = \frac{2 \cdot 2 m ( m ^{2} - 9 ) - 2 ( m ^{2} - 25 ) \cdot 2 m}{( m ^{2} - 9 ) ^{2}} = = \frac{4 m ^{3} - 36 m - 4 m ^{3} + 100 m}{( m ^{2} - 9 ) ^{2}} = = \frac{64 m}{( m ^{2} - 9 ) ^{2}}$