a)

Dane jest równanie:

$x^3+5x=1$

$\underset{=f\left(x\right)}{\underbrace{x^3+5x-1}}=0$   

Funkcja f jest jest funkcją wielomianową zatem jest określona i ciągła na przedziale domkniętym ⟨0, 1⟩.

Ponadto:

$f\left(0\right)=0^3+5\cdot 0-1=-1$  

$f\left(1\right)=1^3+5\cdot 1-1=1+5-1=5$

więc

$f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)=-1\cdot 5=-5<0$

Wobec tego na mocy twierdzenia Darboux funkcja f na przedziale (0, 1) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wnioskujemy, że równanie x³+5x=1 ma co najmniej jeden pierwiastek na przedziale (0, 1),

co należało wykazać.

---

b)

Dane jest równanie:

$x^4+3x=2$

$\underset{=f\left(x\right)}{\underbrace{x^4+3x-2}}=0$   

Funkcja f jest jest funkcją wielomianową zatem jest określona i ciągła na przedziale domkniętym ⟨0, 1⟩.

Ponadto:

$f\left(0\right)=0^4+3\cdot 0-2=-2$  

$f\left(1\right)=1^4+3\cdot 1-2=1+3-2=2$

więc

$f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)=-2\cdot 2=-4<0$

Wobec tego na mocy twierdzenia Darboux funkcja f na przedziale (0, 1) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wnioskujemy, że równanie x⁴+3x=2 ma co najmniej jeden pierwiastek na przedziale (0, 1),

co należało wykazać.

---

c)

Dane jest równanie:

$x^{2005}+2005x=2005$

$\underset{=f\left(x\right)}{\underbrace{x^{2005}+2005x-2005}}=0$   

Funkcja f jest jest funkcją wielomianową zatem jest określona i ciągła na przedziale domkniętym ⟨0, 1⟩.

Ponadto:

$f\left(0\right)=0^{2005}+2005\cdot 0-2005=-2005$  

$f\left(1\right)=1^{2005}+2005\cdot 1-2005=1+2005-2005=1$

więc

$f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)=-2005\cdot 1=-2005<0$

Wobec tego na mocy twierdzenia Darboux funkcja f na przedziale (0, 1) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wnioskujemy, że równanie x²⁰⁰⁵+2005x=2005 ma co najmniej jeden pierwiastek na przedziale (0, 1),

co należało wykazać.