Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{2x-9}{x-3},x_1\in \left(-\infty ,3\right),x_2\in \left(-\infty ,3\right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

Dowód:

Badamy znak różnicy

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2x_1-9}{x_1-3}-\frac{2x_2-9}{x_2-3}=$  

$=\frac{\left(2x_1-9\right)\left(x_2-3\right)-\left(2x_2-9\right)\left(x_1-3\right)}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}=$  

$=\frac{2x_1{x}_2-6x_1-9x_2+27-\left(2x_1{x}_2-6x_2-9x_1+27\right)}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}=$  

$=\frac{2x_1{x}_2-6x_1-9x_2+27-2x_1{x}_2+6x_2+9x_1-27}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}=$  

$=\frac{3x_1-3x_2}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}=\frac{3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}$  

Zauważmy, że 

• $x_1<x_2\Rightarrow x_1-x_2<0$  
• $x_1\in \left(-\infty ,3\right)\Rightarrow x_1-3<0$  
• $x_2\in \left(-\infty ,3\right)\Rightarrow x_2-3<0$  

zatem w liczniku ułamka mamy liczbę ujemną, w mianowniku iloczyn liczb ujemnych, który jest dodatni, iloraz liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny, czyli 

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)}<0$  

więc

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale (-oo, 3). 

c.n.d.