Dane jest równanie z parametrami a i b:

${\left(x+2\right)}^3-{\left(x-2\right)}^3=\left(ax-b\right)\left(ax+b\right)$  

korzystając ze wzorów skróconego mnożenia przekształcamy powyższą równość, mamy 

$x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 4+8-\left(x^3-3x^2\cdot 2+3x\cdot 4-8\right)={\left(ax\right)}^2-b^2$  

$x^3+6x^2+12x+8-x^3+6x^2-12x+8=a^2{x}^2-b^2$  

$12x^2+16=a^2{x}^2-b^2$  

---

A. 

ZDANIE PRAWDZIWE

Uzasadnienie: 

Dla a = -2√3 i b = √3 mamy

$12x^2+16={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2{x}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$  

$12x^2+16=12x^2-3$  

$16=-3$  

sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązania. 

---

B. 

ZDANIE PRAWDZIWE

Uzasadnienie: 

Dla a = 4 i b = √3 mamy

$12x^2+16=4^2{x}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$  

$12x^2+16=16x^2-3$  

$-4x^2=-19$  

$x^2=\frac{19}{4}$  

czyli 

$x=-\frac{\sqrt{19}}{2}\text{lub}x=\frac{\sqrt{19}}{2}$  

---

C. 

ZDANIE FAŁSZYWE

Uzasadnienie: 

Dla a = 2√3  i b = 4 mamy

$12x^2+16={\left(2\sqrt{3}\right)}^2{x}^2-4^2$  

$12x^2+16=12x^2-16$  

$16=-16$  

sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązania. 

---

D. 

ZDANIE PRAWDZIWE

Uzasadnienie: 

Dla a = √3  i b = -√3 mamy

$12x^2+16={\left(\sqrt{3}\right)}^2{x}^2-{\left(-\sqrt{3}\right)}^2$  

$12x^2+16=3x^2-3$  

$9x^2=-19$  

sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązania. 

---

Odp. Poprawna odpowiedź to C.