a) Najpierw określmy dziedzinę funkcji f.

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2\right\}$  

Aby ustalić, czy wykres funkcji f ma asymptoty pionowe, obliczamy granice tej funkcji w punktach, w których funkcja nie jest określona, czyli w punkcie x=-2.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{-8}{\uparrow }}{\overbrace{x^3}}}{\underset{\underset{0^{-}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}}=+\infty$  

Dla liczb mniejszych od -2 wartości wyrażenia x+2 są ujemne.

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{-8}{\uparrow }}{\overbrace{x^3}}}{\underset{\underset{0^{+}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}}=-\infty$  

Dla liczb większych od -2 wartości wyrażenia x+2 są dodatnie.

Granice funkcji f w punkcie -2 są niewłaściwe, więc prosta x=-2 jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

---

b) Najpierw określmy dziedzinę funkcji f.

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-4,1\right\}$  

Aby ustalić, czy wykres funkcji f ma asymptoty pionowe, obliczamy granice tej funkcji w punktach, w których funkcja nie jest określona, czyli w punktach x=-4 i x=1.

Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie -4.

$\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{-60}{\uparrow }}{\overbrace{x^3-x}}}{\underset{\underset{-5}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-1\right)}}\underset{\underset{0^{-}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+4\right)}}}=-\infty$  

Dla liczb mniejszych od -4 wartości wyrażenia x+4 są ujemne.

$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{-60}{\uparrow }}{\overbrace{x^3-x}}}{\underset{\underset{-5}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-1\right)}}\underset{\underset{0^{+}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+4\right)}}}=+\infty$  

Dla liczb większych od -4 wartości wyrażenia x+4 są dodatnie.

Granice funkcji f w punkcie -4 są niewłaściwe, więc prosta x=-4 jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie 1.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x\left(x+1\right)}{x+4}=\frac{1\cdot \left(1+1\right)}{1+4}=\frac{1\cdot 2}{5}=\frac{2}{5}$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x\left(x+1\right)}{x+4}=\frac{1\cdot \left(1+1\right)}{1+4}=\frac{1\cdot 2}{5}=\frac{2}{5}$  

Granice funkcji f w punkcie 1 nie są niewłaściwe, więc prosta x=1 nie jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

Jedyną asymptotą pionową wykresu funkcji f jest prosta x=-4.

---

c) Zauważmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-2x-8}=\frac{x+3}{x^2+2x-4x-8}=\frac{x+3}{x\left(x+2\right)-4\left(x+2\right)}=\frac{x+3}{\left(x+2\right)\left(x-4\right)}$  

Określmy dziedzinę funkcji f.

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,4\right\}$  

Aby ustalić, czy wykres funkcji f ma asymptoty pionowe, obliczamy granice tej funkcji w punktach, w których funkcja nie jest określona, czyli w punktach x=-2 i x=4.

Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie -2.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{1}{\uparrow }}{\overbrace{x+3}}}{\underset{\underset{0^{-}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}\underset{\underset{-6}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-4\right)}}}=+\infty$  

Dla liczb mniejszych od -2 wartości wyrażenia x+2 są ujemne.

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{1}{\uparrow }}{\overbrace{x+3}}}{\underset{\underset{0^{+}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}\underset{\underset{-6}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-4\right)}}}=-\infty$  

Dla liczb większych od -2 wartości wyrażenia x+2 są dodatnie.

Granice funkcji f w punkcie -2 są niewłaściwe, więc prosta x=-2 jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie 4.

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{7}{\uparrow }}{\overbrace{x+3}}}{\underset{\underset{6}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}\underset{\underset{0^{-}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-4\right)}}}=-\infty$  

Dla liczb mniejszych od 4 wartości wyrażenia x+4 są ujemne.

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\stackrel{\stackrel{7}{\uparrow }}{\overbrace{x+3}}}{\underset{\underset{6}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x+2\right)}}\underset{\underset{0^{+}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(x-4\right)}}}=+\infty$  

Dla liczb większych od 4 wartości wyrażenia x+4 są dodatnie.

Granice funkcji f w punkcie 4 są niewłaściwe, więc prosta x=4 jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

Wykres funkcji f ma dwie asymptoty pionowe: x=-2 oraz x=4.