Dana jest funkcja 

$f\left(x\right)=\left(-x^2+3x-2\right)\cdot \log \left(x+1\right)$  

(we wzorze funkcji mamy logarytm dziesiętny, czyli podstawą logarytmu jest liczba 10)

---

Dziedzina: 

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli 

$x+1>0$  

$x>-1$  

zatem 

$D_f=\left(-1,+\infty \right)$  

---

Aby wyznaczyć dla jakich wartości funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, zbadajmy najpierw znak każdego z czynników we wzorze funkcji.  

---

I. 

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu -x²+3x-2:

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=9-8=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-3-1}{-2}=2$  

$x_2=\frac{-3+1}{-2}=1$   

szkicujemy przybliżony wykres funkcji y=-x²+3x-2 

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $-x^2+3x-2>0\text{dla}x\in \left(1,2\right)$  
• $-x^2+3x-2<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

II. 

Szkicujemy wykres funkcji logarytmicznej y=log(x+1) (wykres tej funkcji powstaje po przesunięciu wykresu funkcji y=logx o jedną jednostkę w lewo)

korzystając z wykresu dostajemy, że 

• $\log \left(x+1\right)>0\text{dla}x\in \left(0,+\infty \right)$  
• $\log \left(x+1\right)<0\text{dla}x\in \left(-1,0\right)$  

---

Obliczamy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie:  

$f\left(x\right)>0$  

$\left(-x^2+3x-2\right)\cdot \log \left(x+1\right)>0$  

iloczyn dwóch czynników jest dodatni gdy są one tego samego znaku, czyli 

$\{\begin{array}{l}-x^2+3x-2>0\\ \log \left(x+1\right)>0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}-x^2+3x-2<0\\ \log \left(x+1\right)<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\in \left(1,2\right)\\ x\in \left(0,+\infty \right)\end{array}\{\begin{array}{l}x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)\\ x\in \left(-1,0\right)\end{array}$  

skąd mamy 

$x\in \left(1,2\right)\vee x\in \left(-1,0\right)$  

więc 

$\underline{\underline{x\in \left(-1,0\right)\cup \left(1,2\right)}}$