Treść:

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa 𝛼, a miara kąta ADB jest równa 𝛾 (zobacz rysunek).

Wtedy kąt ABD ma miarę

$\text{A.}\frac{\alpha }{2}+\gamma -{180}^{\circ }$  

$\text{B.}{180}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\gamma$  

$\text{C.}{180}^{\circ }-\alpha -\gamma$  

$\text{D.}\alpha +\gamma -{180}^{\circ }$  

---

Rozwiązanie:

Zauważmy, że kąt środkowy BSC i kąt wpisany BAC są oparte na tym samym łuku. 

Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku, czyli 

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle BSC\right|=\frac{1}{2}\alpha$  

Rozważmy trójkąt ABD. 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180° mamy 

$\left|\sphericalangle ABD\right|+\frac{\alpha }{2}+\gamma ={180}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle ABD\right|={180}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\gamma$  

---

Odp. Poprawna odpowiedź to B.