a)

Objętość sześcianu:

$V_S=6^3=216{\text{cm}}^3$  

 

Pole podstawy ostrosłupa:

$P_P=\frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot \sout{6}{}^3\cdot 6=18{\text{cm}}^2$  

$H=6\text{cm}$   - wysokość ostrosłupa

 

Objętość ostrosłupa:

$V_O=\frac{1}{3}\cdot P_P\cdot H$  

$V_O=\frac{1}{\sout{3}{}_1}\cdot \sout{18}{}^6\cdot 6=36{\text{cm}}^3$  

 

Objętość powstałej bryły:

$V=216-36=\underline{180{\text{cm}}^3}$  

---

Powierzchnia otrzymanej bryły składa się z:

• trzech kwadratów o boku 6 cm;
• 3 trójkątów prostokątnych równoramiennych, o ramieniu długości 6 cm
• 1 trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości przekątnej ściany sześcianu

 

$d=6\sqrt{2}\text{cm}$   - długość przekątnej ściany sześcianu

 

Obliczmy pole powierzchni:

$P_C=3\cdot 6^2+3\cdot \frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot \sout{6}{}^3\cdot 6+\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=108+54+\frac{72\sqrt{3}}{4}=\underline{\left(162+18\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2}$     

---

---

b)

Objętość sześcianu:

$V_S=a^3$   

 

Pole podstawy ostrosłupa:

$P_P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$   

$H=a$    - wysokość ostrosłupa

 

Objętość ostrosłupa:

$V_O=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot a=\frac{1}{6}{a}^3$     

 

Objętość powstałej bryły:

$V=a^3-\frac{1}{6}{a}^3=\underline{\frac{5}{6}{\mathbf{a}}^3}$   

  

---

$d=\sqrt{2}$   - przekątna ściany sześcianu

 

Obliczamy pole powierzchni:

$P_C=3a^2+3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot a+\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\underline{4,5{\mathbf{a}}^2+\frac{{\mathbf{a}}^2\sqrt{3}}{2}}$