Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ONK:

${\left|OK\right|}^2={\left(3\sqrt{13}\right)}^2+{\left(2\sqrt{13}\right)}^2$  

${\left|OK\right|}^2=117+52$  

${\left|OK\right|}^2=169$  

$\left|OK\right|=13$  

 

A więc:

$\left|OL\right|+\left|LK\right|=\left|OK\right|$  

$\left|OL\right|+4=13$  

$\underline{\left|\mathbf{O}\mathbf{L}\right|=9}$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie OLN:

${\left|OL\right|}^2+{\left|LN\right|}^2={\left|ON\right|}^2$  

$9^2+{\left|LN\right|}^2={\left(3\sqrt{13}\right)}^2$  

$81+{\left|LN\right|}^2=117$  

${\left|LN\right|}^2=36$  

$\left|LN\right|=6$  

 

Zauważmy, że kąty MKL oraz LKN mają równe miary.

Wprowadźmy oznaczenie:

$\sphericalangle KOM=\sphericalangle KON=\alpha$  

 

Skorzystajmy z trójkąta MKO: 

$\sphericalangle MKL={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }$  

Skorzystajmy z trójkąta NKO: 

$\sphericalangle NKL={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }$  

 

Trójkąty LKN oraz MKL są więc przystające (cecha bok-kąt-bok; odcinki MK oraz KN mają równe długości; mają wspólny bok LK; miary kątów między tymi odcinkami są równe)

W związku z tym:

$\left|ML\right|=\left|LN\right|=6$  

A więc:

$\left|MN\right|=\left|ML\right|+\left|LN\right|=6+6=\underline{12}$