Na biurku leżą ponumerowane kartki...- Zadanie 3.98: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważmy przypadki:

1) Wybrano 4 kartki żółte.

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 4 spośród 5 żółtych kartek (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(54) = \frac{5 !}{4 ! \cdot ( 5 - 4 ) !} = \frac{5 !}{4 ! \cdot 1 !} = \frac{4 ! \cdot 5}{4 !} = 5$

2) Wybrano 4 kartki niebieskie.

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 4 spośród 6 niebieskich kartek (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(64) = \frac{6 !}{4 ! \cdot ( 6 - 4 ) !} = \frac{6 !}{4 ! \cdot 2 !} = \frac{4 ! ^{1} \cdot 5 \cdot 6}{4 ! _{1} \cdot 2} = 15$

3) Wybrano 4 kartki białe.

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 4 spośród 7 białych kartek (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(74) = \frac{7 !}{4 ! \cdot ( 7 - 4 ) !} = \frac{7 !}{4 ! \cdot 3 !} = \frac{4 ! ^{1} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{4 ! _{1} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$

Korzystając z reguły dodawania dostajemy, że cztery kartki w tym samym kolorze możemy wybrać na

$(54) + (64) + (74) = 5 + 15 + 35 = 55$

sposobów.

Skoro wśród czterech wybranych kartek co najwyżej jedna ma być biała to rozważamy przypadki gdy nie wybrano żadnej białej kartki (1) lub wybrano jedną białą kartkę (2).

Ad.1) (Wybrano 4 kartki w kolorze innym niż biały)

Obliczamy ile jest kartek w kolorach innych niż biały: 3+5+6=14.

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 4 kartki, z których żadna nie jest biała (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(144) = \frac{14 !}{4 ! \cdot ( 14 - 4 ) !} = \frac{14 !}{4 ! \cdot 10 !} = \frac{10 ! ^{1} \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 10 ! _{1}} = 1001$

Ad.2) (Wybrano 1 kartkę w kolorze białym i 3 kartki w innym kolorze)

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 1 spośród 7 białych kartek

$(71) = 7$

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 3 kartki spośród 14 kartek w kolorze innym niż biały (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(143) = \frac{14 !}{3 ! \cdot ( 14 - 3 ) !} = \frac{14 !}{3 ! \cdot 11 !} = \frac{11 ! ^{1} \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 ! _{1}} = 364$

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 1 kartkę w kolorze białym i 3 kartki w innym kolorze można wybrać na

$(71) \cdot (143) = 7 \cdot 364 = 2548$

sposobów.

Korzystając z reguły dodawania z przypadków 1) i 2) dostajemy, że można wybrać cztery kartki tak by co najwyżej jedna była biała na

$(144) + (71) \cdot (143) = 1001 + 2548 = 3549$

sposobów.

Zauważmy, że na biurku są:

4 kartki z numerem 1;
4 kartki z numerem 2;
4 kartki z numerem 3;
3 kartki z numerem 4.

Zauważmy, że skoro są cztery kartki z numerem 1, cztery kartki z numerem 2 i cztery kartki z numerem 3, to każdą z kartek o numerach: 1, 2 i 3 można wybrać na

$(41) = 4$

sposoby.

Obliczamy na ile sposobów można wybrać jedną spośród trzech kartek z numerem 4:

$(31) = 3$

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że cztery kartki z różnymi numerami od 1 do 4 można wybrać na

$(41) \cdot (41) \cdot (41) \cdot (31) = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 192$

sposoby.

Zauważmy, że na biurku są:

4 kartki z numerem 1;
4 kartki z numerem 2;
4 kartki z numerem 3;
3 kartki z numerem 4;
3 kartki z numerem 5;
2 kartki z numerem 6;
1 kartka z numerem 7.

Zatem mamy łącznie 4+3+2=9 kartek o numerach parzystych, 4+4+3+1=12 kartek o numerach nieparzystych.

Skoro wśród czterech wybranych kartek co najmniej dwie mają mieć parzysty numer to rozważamy przypadki gdy wybrano dwie kartki o numerach parzystych (1), wybrano trzy kartki o numerach parzystych (2) lub wybrano cztery kartki o numerach parzystych (3).

Ad.1) (Wybrano 2 kartki o numerach parzystych i 2 kartki o numerach nieparzystych).

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 2 kartki spośród 9 kartek o numerach parzystych (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(92) = \frac{9 !}{2 ! \cdot ( 9 - 2 ) !} = \frac{9 !}{2 ! \cdot 7 !} = \frac{7 ! ^{1} \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 7 ! _{1}} = 36$

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 2 kartki spośród 12 kartek o numerach nieparzystych (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(122) = \frac{12 !}{2 ! \cdot ( 12 - 2 ) !} = \frac{12 !}{2 ! \cdot 10 !} = \frac{10 ! ^{1} \cdot 11 \cdot 12}{2 \cdot 10 ! _{1}} = 66$

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 2 kartki o numerach parzystych i 2 kartki o numerach nieparzystych można wybrać na

$(92) \cdot (122) = 36 \cdot 66 = 2376$

sposobów.

Ad.2) (Wybrano 3 kartki o numerach parzystych i 1 kartkę z numerem nieparzystym).

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 3 kartki spośród 9 kartek o numerach parzystych (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(93) = \frac{9 !}{3 ! \cdot ( 9 - 3 ) !} = \frac{9 !}{3 ! \cdot 6 !} = \frac{6 ! ^{1} \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 ! _{1}} = 84$

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać 1 spośród 12 kartek o numerach nieparzystych

$(121) = 12$

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 3 kartki o numerach parzystych i 1 kartkę z numerem nieparzystym można wybrać na

$(93) \cdot (121) = 84 \cdot 12 = 1008$

sposobów.

Ad.3) (Wybrano 4 kartki o numerach parzystych).

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 4 kartki spośród 9 kartek o numerach parzystych (kolejność wyboru nie jest istotna)

$(94) = \frac{9 !}{4 ! \cdot ( 9 - 4 ) !} = \frac{9 !}{4 ! \cdot 5 !} = \frac{5 ! ^{1} \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 ! _{1}} = 126$