Rozwiązanie 1. 

Założenie:

(a, b, c) - ciąg arytmetyczny. 

(a+5, b+1, c)- malejący ciąg geometryczny. 

a + b + c = 15

Teza:

iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35. 

Dowód: 

Oznaczmy przez r różnicę ciągu (a,b,c). 

Korzystając z określenia ciągu arytmetycznego dostajemy, że 

• $a=b-r$  
• $c=b+r$  

Wiadomo, że 

$a+b+c=15$  

skąd mamy 

$\left(b-r\right)+b+\left(b+r\right)=15$  

$3b=15\mid :3$  

$b=5$  

wtedy dostajemy, że 

• $a=b-r=5-r$  
• $c=b+r=5+r$  

Rozważamy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c)=(10-r, 6, 5+r). 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego mamy 

$6^2=\left(10-r\right)\left(5+r\right)$  

$36=50+10r-5r-r^2$  

$r^2-5r-14=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-14\right)=81$  

$\sqrt{\Delta }=9$  

$r_1=\frac{5-9}{2}=-2$  

$r_2=\frac{5+9}{2}=7$  

 Zauważmy, że 

• dla r = -2 mamy 

$10-r=10-\left(-2\right)=12$

$5+r=5+\left(-2\right)=3$   

wtedy ciąg geometryczny (10-r, 6, 5+r) = (12, 6, 3) jest malejący, czyli warunki zadania są spełnione. 

• dla r = 7 mamy 

$10-r=10-7=3$

$5+r=5+7=12$   

wtedy ciąg geometryczny (10-r, 6, 5+r) = (3, 6, 12) jest rosnący, czyli ten przypadek odrzucamy. 

Zatem 

$r=-2$  

Otrzymujemy więc, że  

• $a=b-r=5-\left(-2\right)=7$  
• $b=5$  
• $c=b+r=5-2=3$  

czyli 

$a\cdot b\cdot c=7\cdot 5\cdot 3=35\cdot 3$  

zatem iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35. 

c.n.d.

---

---

Rozwiązanie 2. 

Założenie:

(a, b, c) - ciąg arytmetyczny. 

(a+5, b+1, c)- malejący ciąg geometryczny. 

a + b + c = 15

Teza:

iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35. 

Dowód: 

Ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dostajemy 

• $b=\frac{a+c}{2}$  

Ciąg (a+5, b+1, c) jest malejącym ciągiem geometrycznym. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy 

• ${\left(b+1\right)}^2=\left(a+5\right)\cdot c$  

Otrzymujemy układ równań postaci

$\{\begin{array}{l}b=\frac{a+c}{2}\\ {\left(b+1\right)}^2=\left(a+5\right)\cdot c\\ a+b+c=15\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}b=\frac{a+c}{2}\\ {\left(b+1\right)}^2=\left(a+5\right)\cdot c\\ a+\frac{a+c}{2}+c=15\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{a+c}{2}\\ {\left(b+1\right)}^2=\left(a+5\right)\cdot c\\ 2a+a+c+2c=30\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{a+c}{2}\\ {\left(b+1\right)}^2=\left(a+5\right)\cdot c\\ 3a+3c=30\Rightarrow a=10-c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{10-c+c}{2}=\frac{10}{2}=5\\ {\left(b+1\right)}^2=\left(10-c+5\right)\cdot c\\ a=10-c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ {\left(5+1\right)}^2=\left(15-c\right)\cdot c\\ a=10-c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 6^2=15c-c^2\\ a=10-c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ c^2-15c+36=0\\ a=10-c\end{array}$  

rozwiązujemy drugie równanie i otrzymujemy 

$c^2-15c+36=0$

$\Delta ={\left(-15\right)}^2-4\cdot 1\cdot 36=225-144=81$   

$\sqrt{\Delta }=9$  

$c_1=\frac{15-9}{2}=3$  

$c_2=\frac{15+9}{2}=12$  

Zauważmy, że 

• dla c = 3 mamy 

$a=10-3=7$  

wtedy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c) = (12, 6, 3) jest malejący, czyli warunki zadania są spełnione. 

• dla c = 12 mamy 

$a=10-12=-2$  

 wtedy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c) = (3, 6, 12) jest rosnący, czyli ten przypadek odrzucamy. 

Otrzymaliśmy więc, że 

$\{\begin{array}{l}a=7\\ b=5\\ c=3\end{array}$  

czyli 

$abc=7\cdot 5\cdot 3=35\cdot 3$  

zatem iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35. 

c.n.d.