Rozwiązanie 1.

Założenie:

(a, b, c) - ciąg arytmetyczny.

(a+5, b+1, c)- malejący ciąg geometryczny.

a + b + c = 15

Teza:

iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35.

Dowód:

Oznaczmy przez r różnicę ciągu (a,b,c).

Korzystając z określenia ciągu arytmetycznego dostajemy, że

Wiadomo, że

skąd mamy

wtedy dostajemy, że

Rozważamy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c)=(10-r, 6, 5+r).

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego mamy

Zauważmy, że

dla r = -2 mamy

wtedy ciąg geometryczny (10-r, 6, 5+r) = (12, 6, 3) jest malejący, czyli warunki zadania są spełnione.

dla r = 7 mamy

wtedy ciąg geometryczny (10-r, 6, 5+r) = (3, 6, 12) jest rosnący, czyli ten przypadek odrzucamy.

Zatem

Otrzymujemy więc, że

czyli

zatem iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35.

c.n.d.

Rozwiązanie 2.

Założenie:

(a, b, c) - ciąg arytmetyczny.

(a+5, b+1, c)- malejący ciąg geometryczny.

a + b + c = 15

Teza:

iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35.

Dowód:

Ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny.

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dostajemy

Ciąg (a+5, b+1, c) jest malejącym ciągiem geometrycznym.

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy

Otrzymujemy układ równań postaci

rozwiązujemy drugie równanie i otrzymujemy

Zauważmy, że

dla c = 3 mamy

wtedy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c) = (12, 6, 3) jest malejący, czyli warunki zadania są spełnione.

dla c = 12 mamy

wtedy ciąg geometryczny (a+5, b+1, c) = (3, 6, 12) jest rosnący, czyli ten przypadek odrzucamy.

Otrzymaliśmy więc, że

czyli

zatem iloczyn abc jest liczbą podzielną przez 35.

c.n.d.

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium