a)

$\frac{x^2+x+4}{x^2-5x+6}$  

Dziedzina:

Rozwiązujemy równanie:

$x^2-5x+6=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{5-1}{2}=2$  

$x_2=\frac{5+1}{2}=3$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{2,3\right\}$  

---

b)

$\frac{x+1}{x^3-4x^2}$  

Dziedzina:

Rozwiązujemy równanie:

$x^3-4x^2=0$  

$x^2\left(x-4\right)=0$  

$x^2=0\vee x-4=0$  

$x=0x=4$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0,4\right\}$  

---

c)

$\frac{3x^3+8x+5}{8x^4-x}$  

Dziedzina:

Rozwiązujemy równanie:

$8x^4-x=0$  

$x\left(8x^3-1\right)=0$  

$x=0\vee 8x^3-1=0$  

$8x^3=1$  

$x^3=\frac{1}{8}$  

$x=\frac{1}{2}$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0,\frac{1}{2}\right\}$  

---

d)

$\frac{x^2+5}{x^3-9x^2+x-9}$  

Dziedzina:

Rozwiązujemy równanie:

$x^3-9x^2+x-9=0$  

$x^2\left(x-9\right)+x-9=0$  

$\left(x-9\right)\left(x^2+1\right)=0$  

$x-9=0\vee x^2+1=0$  

$x=9\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{x^2=-1}$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{9\right\}$  

---

e)

$\frac{2x-7}{x^4+x^2-20}$  

Dziedzina:

Rozwiążemy równanie:

$x^4+x^2-20=0$  

niech 

$t=x^2,t\ge 0$  

wówczas mamy 

$t^2+t-20=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$  

$\sqrt{\Delta }=9$  

$t_1=\frac{-1-9}{2}=\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{-5<0}$  

$t_2=\frac{-1+9}{2}=4$  

czyli

$t=4$  

wracając do podstawienia mamy 

$x^2=4$  

$x=2\vee x=-2$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

---

f)

$\frac{2x^3-5x+3}{x^3-3x^2+3x-1}$  

Dziedzina:

Rozwiążemy równanie:

$x^3-3x^2+3x-1=0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy 

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$  

dostajemy, że 

$x^3-3x^2+3x-1={\left(x-1\right)}^3$  

czyli 

${\left(x-1\right)}^3=0\mid \sqrt[3]{}$  

$x-1=0$  

$x=1$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

---

g)

$\frac{-7x+2}{x^3+4x+5}$  

Dziedzina:

Rozwiążemy równanie:

$x^3+4x+5=0$  

$x^3+\underset{=0}{\underbrace{x^2-x^2}}-\underset{=4x}{\underbrace{x+5x}}+5=0$  

$x^2\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+5\right)=0$  

$x+1=0\vee \underset{\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=-19<0\text{czyli to roˊwnanie nie ma rozwiązania}}{x^2-x+5=0}$   

$x=-1$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

---

h)

$\frac{x-3}{5x^3-15x^2-5x+15}$  

Dziedzina:

Rozwiążemy równanie: 

$5x^3-15x^2-5x+15=0$  

$5x^2\left(x-3\right)-5\left(x-3\right)=0$  

$\left(x-3\right)\left(5x^2-5\right)=0$  

$5\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)=0$  

$5\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0$  

$x-3=0\vee x+1=0\vee x-1=0$  

$x=3x=-1x=1$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1,3\right\}$  

---

i)

$\frac{3x^2-2x+1}{x^5+3x^3-4x^2}$  

Dziedzina:

Rozwiążemy równanie:

$x^5+3x^3-4x^2=0$  

$x^2\left(x^3+3x-4\right)=0$  

$x=0\vee x^3+3x-4=0$  

$x^3-\underset{=0}{\underbrace{x^2+x^2}}-\underset{=-3x}{\underbrace{x+4x}}-4=0$   

$x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2+x+4\right)=0$  

$x-1=0\vee \underset{\Delta =-15<0\text{czyli to roˊwnanie nie ma rozwiązania}}{x^2+x+4=0}$  

$x=1$  

Dziedziną podanego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka, czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0,1\right\}$