Wyznaczamy wyrazy c_n i c_n+1.

---

• $c_n=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7n-4\right)}{14n^2+5n-1}$  

W liczniku ułamka mamy sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 3, n-ty wyraz jest równy 7n-4.

Zatem

$c_n=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7n-4\right)}{14n^2+5n-1}=\frac{\frac{3+\left(7n-4\right)}{2}\cdot n}{14n^2+7n-2n-1}=$  

$=\frac{\frac{7n-1}{2}\cdot n}{7n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)}=\frac{\frac{n\cdot \left(7n-1\right)}{2}}{\left(2n+1\right)\cdot \left(7n-1\right)}=\frac{n}{2\cdot \left(2n+1\right)}$  

---

• $c_{n+1}=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7\left(n+1\right)-4\right)}{14{\left(n+1\right)}^2+5\left(n+1\right)-1}=$   

$=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7n+3\right)}{14\left(n^2+2n+1\right)+5n+5-1}=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7n+3\right)}{14n^2+33n+18}$  

W liczniku ułamka mamy sumę n+1 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 3, ostatni wyraz jest równy 7n+3.

Zatem 

$c_{n+1}=\frac{3+10+17+24+\dots +\left(7n+3\right)}{14n^2+33n+18}=\frac{\frac{3+\left(7n+3\right)}{2}\cdot \left(n+1\right)}{14n^2+21n+12n+18}=$  

$=\frac{\frac{\left(7n+6\right)\left(n+1\right)}{2}}{7n\left(2n+3\right)+6\left(2n+3\right)}=\frac{\frac{\left(7n+6\right)\left(n+1\right)}{2}}{\left(2n+3\right)\left(7n+6\right)}=\frac{n+1}{2\cdot \left(2n+3\right)}$  

---

Rozpatrujemy różnicę c_n+1 - c_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n.

Otrzymujemy 

$c_{n+1}-c_n=\frac{n+1}{2\cdot \left(2n+3\right)}-\frac{n}{2\cdot \left(2n+1\right)}=$  

$=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)-n\left(2n+3\right)}{2\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=$  

$=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n}{2\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\frac{1}{2\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}>0$  

zatem mamy

$c_{n+1}-c_n>0$  

$c_{n+1}>c_n$  

czyli ten ciąg jest rosnący. 

---

Zauważmy, że różnica

$c_{n+1}-c_n=\frac{1}{2\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}$  

nie jest stała (zależy od n), czyli ten ciąg nie jest arytmetyczny.