Suma k początkowych wyrazów ciągu...- Zadanie 2.78: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Ciąg (1, 4, 7, ...) oznaczmy przez (a_n).

Pierwszy wyraz ciągu (1, 4, 7, ...) jest równy 1, różnica tego ciągu jest równa 3.

Wyznaczamy wyraz a_k (k ∈ N₊)

$a_{k} = 1 + (k - 1) \cdot 3 = 1 + 3 k - 3 = 3 k - 2$

Wyznaczamy sumę k początkowych wyrazów tego ciągu

$S_{k} = \frac{a _{1} + a _{k}}{2} \cdot k = \frac{1 + ( 3 k - 2 )}{2} \cdot k = \frac{3 k - 1}{2} \cdot k = \frac{k \cdot ( 3 k - 1 )}{2} = \frac{3 k ^{2} - k}{2}$

Ciąg (20, 21, 22, ...) oznaczmy przez (b_n).

Pierwszy wyraz ciągu (20, 21, 22, ...) jest równy 20, różnica tego ciągu jest równa 1.

Wyznaczamy wyraz b_k+4 (k ∈ N₊)

$b_{k + 4} = 20 + (k + 4 - 1) \cdot 1 = 20 + k + 3 = 23 + k$

Wyznaczamy sumę k+4 początkowych wyrazów tego ciągu

$S^{'}_{k + 4} = \frac{b _{1} + b _{k + 4}}{2} \cdot (k + 4) = \frac{20 + ( 23 + k )}{2} \cdot (k + 4) = \frac{k + 43}{2} \cdot (k + 4) =$

$= \frac{( k + 43 ) ( k + 4 )}{2} = \frac{k ^{2} + 4 k + 43 k + 172}{2} = \frac{k ^{2} + 47 k + 172}{2}$

Wiadomo, że suma k początkowych wyrazów ciągu (1, 4, 7, ...) jest o 5 mniejsza od sumy k + 4 początkowych wyrazów ciągu (20, 21, 22, ...).

Zatem dostajemy, że

$S_{k} + 5 = S^{'}_{k + 4}$