Przypomnijmy podstawowe wzory pochodnych funkcji trygonometrycznych:

Funkcja	Pochodna funkcji
$f\left(x\right)=\sin x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=\cos x$
$f\left(x\right)=\cos x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$

---

a)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$g\left(x\right)=\cos 3x-x^2,x\in \mathbb{R}$

mamy  

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\cos 3x-x^2\right]{}^{\prime }=$  

$=\left(\cos 3x\right){}^{\prime }-\left(x^2\right){}^{\prime }=$  

$=-\sin 3x\cdot \left(3x\right){}^{\prime }-2x=$  

$=-\sin 3x\cdot 3-2x=$  

$=-3\sin 3x-2x$  

więc 

$g{}^{\prime }\left(x\right)=-3\sin 3x-2x,x\in \mathbb{R}$  

Przypomnijmy, że funkcję f nazywamy funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby x z dziedziny liczba -x także należy do dziedziny oraz spełniony jest warunek  $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$

Dla dowolnej liczby x ze zbioru R otrzymujemy 

$g{}^{\prime }\left(-x\right)=$  

$=-3\sin \left(3\left(-x\right)\right)-2\left(-x\right)=$  

$=-3\sin \left(-3x\right)+2x=\dots$  

korzystamy z własności sin(-𝛼)=-sin𝛼 i mamy 

$\dots =-3\left(-\sin 3x\right)+2x=$   

$=3\sin 3x+2x=$  

$=-\left(-3\sin 3x-2x\right)=-g{}^{\prime }\left(x\right)$  

otrzymaliśmy więc, że dla dowolnej liczby x ze zbioru R zachodzi 

$g{}^{\prime }\left(-x\right)=-g{}^{\prime }\left(x\right)$  

czyli funkcja y=g'(x) jest nieparzysta. 

c.n.d.

---

b)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$h\left(x\right)=\sin 2x-x\cdot \cos x,x\in \mathbb{R}$

mamy  

$h{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\sin 2x-x\cdot \cos x\right]{}^{\prime }=$  

$=\left(\sin 2x\right){}^{\prime }-\left(x\cdot \cos x\right){}^{\prime }=$  

$=\cos 2x\cdot \left(2x\right){}^{\prime }-\left[\left(x\right){}^{\prime }\cdot \cos x+x\cdot \left(\cos x\right){}^{\prime }\right]=$  

$=\cos 2x\cdot 2-\left[1\cdot \cos x+x\cdot \left(-\sin x\right)\right]=$  

$=2\cos 2x-\left[\cos x-x\sin x\right]=$  

$=2\cos 2x-\cos x+x\sin x$  

więc 

$h{}^{\prime }\left(x\right)=2\cos 2x-\cos x+x\sin x,x\in \mathbb{R}$  

Przypomnijmy, że funkcję f nazywamy funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby x z dziedziny liczba -x także należy do dziedziny oraz spełniony jest warunek  $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$

Dla dowolnej liczby x ze zbioru R otrzymujemy 

$h{}^{\prime }\left(-x\right)=$  

$=2\cos \left(2\left(-x\right)\right)-\cos \left(-x\right)+\left(-x\right)\sin \left(-x\right))=$  

$=2\cos \left(-2x\right)-\cos \left(-x\right)-x\sin \left(-x\right)=\dots$  

korzystamy z własności sin(-𝛼)=-sin𝛼 i cos(-𝛼)=cos𝛼 i otrzymujemy

$\dots =2\cos 2x-\cos x-x\left(-\sin x\right)=$  

$=2\cos 2x-\cos x+x\sin x=h{}^{\prime }\left(x\right)$   

otrzymaliśmy więc, że dla dowolnej liczby x ze zbioru R zachodzi 

$h{}^{\prime }\left(-x\right)=h{}^{\prime }\left(x\right)$  

czyli funkcja y=h'(x) jest parzysta. 

c.n.d.