Przypomnijmy podstawowe wzory pochodnych funkcji trygonometrycznych:

Funkcja	Pochodna funkcji
$f\left(x\right)=\sin x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=\cos x$
$f\left(x\right)=\cos x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$
$f\left(x\right)=\mathrm{tg}x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$f\left(x\right)=\mathrm{ctg}x$	$f{}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

---

a)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x-\cos x,x\in \mathbb{R}$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej różnicy funkcji i otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[{\sin }^{2}x-\cos x\right]{}^{\prime }=$  

$=\left({\sin }^{2}x\right){}^{\prime }-\left(\cos x\right){}^{\prime }=\dots$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i dostajemy 

$\dots =2\sin x\cdot \left(\sin x\right){}^{\prime }-\left(-\sin x\right)=$  

$=2\sin x\cdot \cos x+\sin x=$  

$=2\sin x\cos x+\sin x=$  

$=\sin 2x+\sin x$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\sin 2x+\sin x,x\in \mathbb{R}$  

---

b)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=4\cos 5x-2x^3,x\in \mathbb{R}$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej różnicy funkcji i otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[4\cos x5x-2x^3\right]{}^{\prime }=$  

$=\left(4\cos 5x\right){}^{\prime }-\left(2x^3\right){}^{\prime }=$  

$=4\cdot \left(\cos 5x\right){}^{\prime }-2\cdot \left(x^3\right){}^{\prime }=$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i dostajemy 

$\dots =4\cdot \left(-\sin 5x\right)\cdot \left(5x\right){}^{\prime }-2\cdot 3x^2=$  

$=-4\sin 5x\cdot 5-6x^2=$  

$=-20\sin 5x-6x^2$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-20\sin 5x-6x^2,x\in \mathbb{R}$  

---

c)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\cos }^{2}3x+4,x\in \mathbb{R}$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej sumy funkcji i otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[{\cos }^{2}3x+4\right]{}^{\prime }=$  

$=\left({\cos }^{2}3x\right)+\left(4\right){}^{\prime }=\dots$

korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i dostajemy 

$\dots =2\cos 3x\cdot \left(\cos 3x\right){}^{\prime }+0=$  

$=2\cos x3x\cdot \left(-\sin 3x\right)\cdot \left(3x\right){}^{\prime }=$  

$=-\underset{=\sin 6x}{\underbrace{2\cos 3x\sin 3x}}\cdot 3=$  

$=-3\sin 6x$  

czyli

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-3\sin 6x,x\in \mathbb{R}$   

---

d)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\sin }^3\left(4x-\frac{\pi }{3}\right),x\in \mathbb{R}$  

korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[{\sin }^3\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\right]{}^{\prime }=$  

$=\left[\text{(}\sin \text{(}4x-\frac{\pi }{3}\text{)}{\text{)}}^3\right]{}^{\prime }=$  

$=3{\sin }^2\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \left(\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\right){}^{\prime }=$  

$=3{\sin }^2\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \left(4x-\frac{\pi }{3}\right){}^{\prime }=$  

$=3{\sin }^2\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot 4=$  

$=12{\sin }^2\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=12{\sin }^2\left(4x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right),x\in \mathbb{R}$