Wykaż, że...- Zadanie 7.77: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝛼 i 𝛽 prawdziwe są wzory:

$sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
$sin α - sin β = 2 sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}$
$cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
$cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}$

$sin 38^{\circ} + sin 22^{\circ} = cos 8^{\circ}$

Przekształcamy lewą stronę powyższej równości korzystając ze wzoru

$sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$

i dostajemy

$L = sin 38^{\circ} + sin 22^{\circ} = 2 sin \frac{38 ^{\circ} + 22 ^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{38 ^{\circ} - 22 ^{\circ}}{2} =$

$= 2 sin 30^{\circ} \cdot cos 8^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos 8^{\circ} = cos 8^{\circ} = P$

otrzymaliśmy więc, że

$L = P$

czyli podana równość jest prawdziwa.

c.n.d.

$cos 40^{\circ} - cos 20^{\circ} = - sin 10^{\circ}$

Przekształcamy lewą stronę powyższej równości korzystając ze wzoru

$cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}$

i dostajemy

$L = cos 40^{\circ} - cos 20^{\circ} = - 2 sin \frac{40 ^{\circ} + 20 ^{\circ}}{2} \cdot sin \frac{40 ^{\circ} - 20 ^{\circ}}{2} =$

$= - 2 sin 30^{\circ} \cdot sin 10^{\circ} = - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin 10^{\circ} = - sin 10^{\circ} = P$

otrzymaliśmy więc, że

$L = P$

czyli podana równość jest prawdziwa.

c.n.d.

$cos 47^{\circ} + cos 13^{\circ} = 3 cos 17^{\circ}$

Przekształcamy lewą stronę powyższej równości korzystając ze wzoru

$cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$

i dostajemy

$L = cos 47^{\circ} + cos 13^{\circ} = 2 cos \frac{47 ^{\circ} + 13 ^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{47 ^{\circ} - 13 ^{\circ}}{2} =$

$= 2 cos 30^{\circ} \cdot cos 17^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot cos 17^{\circ} = 3 cos 17^{\circ} = P$

otrzymaliśmy więc, że

$L = P$

czyli podana równość jest prawdziwa.

c.n.d.

$2 \cdot (sin 74^{\circ} - sin 46^{\circ}) \cdot cos 14^{\circ} = sin 28^{\circ}$

Przekształcamy lewą stronę powyższej równości korzystając ze wzoru

$sin α - sin β = 2 sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}$

i dostajemy

$L = 2 \cdot (sin 74^{\circ} - sin 46^{\circ}) \cdot cos 14^{\circ} = 2 \cdot 2 sin \frac{74 ^{\circ} - 46 ^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{74 ^{\circ} + 46 ^{\circ}}{2} \cdot cos 14^{\circ} =$

$= 2 \cdot 2 sin 14^{\circ} \cdot cos 60^{\circ} \cdot cos 14^{\circ} = 2 \cdot = s i n 28^{\circ} 2 sin 14^{\circ} cos 14^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = sin 28^{\circ} = P$