Wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\alpha \in \mathbb{R}$   $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha ,\alpha \in \mathbb{R}$   $\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\cdot \mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha },\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{x:x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right\}$

---

Obliczymy wartość wyrażenia 

${\sin }^{3}2\alpha -{\cos }^{3}2\alpha$  

wiedząc, że 

$\sin 2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2},\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{8}\right)$    

---

Podnosząc podaną równość stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\sin 2\alpha +\cos 2\alpha \right)}^2={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2$  

$\underset{=1}{\underbrace{{\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha }}+2\cdot \sin 2\alpha \cos 2\alpha =\frac{5}{4}$  

$1+2\cdot \sin 2\alpha \cos 2\alpha =\frac{5}{4}$  

$2\cdot \sin 2\alpha \cos 2\alpha =\frac{1}{4}\mid :2$  

$\underline{\underline{\sin 2\alpha \cos 2\alpha =\frac{1}{8}\left(\text{*}\right)}}$  

---

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy 

• $\sin 4\alpha =2\cdot \underset{=\frac{1}{8}}{\underbrace{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }}=2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$  

---

Zauważmy, że 

$\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{8}\right)\Rightarrow 4\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$  

końcowe ramię kąta 4𝛼 znajduje się w I ćwiartce układu współrzędnych, wtedy cos4𝛼>0. 

Z "jedynki trygonometrycznej" mamy

${\sin }^{2}4\alpha +{\cos }^{2}4\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\cos }^{2}4\alpha =1$  

$\frac{1}{16}+{\cos }^{2}4\alpha =1$  

${\cos }^{2}4\alpha =\frac{15}{16}\text{i}\cos 4\alpha >0$  

czyli 

$\underline{\cos 4\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}}$  

---

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy 

$\cos 4\alpha ={\cos }^{2}2\alpha -{\sin }^{2}2\alpha$  

$\frac{\sqrt{15}}{4}=\left(\cos 2\alpha -\sin 2\alpha \right)\underset{=\frac{\sqrt{5}}{2}}{\underbrace{\left(\cos 2\alpha +\sin 2\alpha \right)}}$  

$\frac{\sqrt{15}}{4}=\left(\cos 2\alpha -\sin 2\alpha \right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}\mid :\frac{\sqrt{5}}{2}$  

$\underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 2\alpha -\sin 2\alpha \left(\text{**}\right)}}$  

---

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dostajemy 

${\sin }^{3}2\alpha -{\cos }^{3}2\alpha =\left(\sin 2\alpha -\cos 2\alpha \right)\left({\sin }^{2}2\alpha +\sin 2\alpha \cos 2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha \right)=\dots$  

z (*) i (**) mamy 

$\dots =-\underset{=\frac{\sqrt{3}}{2}}{\underbrace{\left(\cos 2\alpha -\sin 2\alpha \right)}}\text{(}\underset{=1}{\underbrace{{\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha }}+\underset{=\frac{1}{8}}{\underbrace{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }}\text{)}=$  

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1+\frac{1}{8}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{9}{8}=-\frac{9\sqrt{3}}{16}$  

---

Podsumowując otrzymaliśmy, że 

${\sin }^{3}2\alpha -{\cos }^{3}2\alpha =-\frac{9\sqrt{3}}{16}$