Wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\alpha \in \mathbb{R}$   $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha ,\alpha \in \mathbb{R}$   $\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\cdot \mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha },\alpha \in \mathbb{R}\backslash \left\{x:x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right\}$

---

Obliczymy wartość wyrażenia 

${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$  

wiedząc, że 

$\sin 2\alpha =\frac{24}{25}\text{i}\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$  

---

Zauważmy, że skoro 

$\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$  

to 

$2\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$  

czyli końcowe ramię tego kąta znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych, więc cos2𝛼<0. 

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy 

${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =1$  

${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\cos }^{2}2\alpha =1$  

$\frac{576}{625}+{\cos }^{2}2\alpha =1$  

${\cos }^{2}2\alpha =\frac{49}{625}\text{i}\cos 2\alpha <0$  

czyli 

$\cos 2\alpha =-\frac{7}{25}$  

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy

$\cos 2\alpha =-\frac{7}{25}$  

$\underline{\underline{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =-\frac{7}{25}\left(\text{*}\right)}}$  

---

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów przekształcamy podane wyrażenie i otrzymujemy 

${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha ={\left({\sin }^2\alpha \right)}^2-{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2=\underset{=1}{\underbrace{\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}}\left({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)=$  

$=1\cdot \left({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)=-\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)\stackrel{\text{(*)}}{=}-\left(-\frac{7}{25}\right)=\frac{7}{25}$