Twierdzenie (Darboux) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> oraz f(a)≠f(b), natomiast A jest dowolną liczbą pomiędzy liczbami f(a) oraz f(b), to istnieje taka liczba c, c ∈ (a, b), dla której f(c)=A.

---

Wiadomo, że temperaturę T wrzenia wody (w °C) w zależności od wysokości h (w metrach) nad poziomem morza opisuje funkcja 

$T\left(h\right)=103,79-0,1895\sqrt{h+400},\text{gdzie}h\in ⟨0,2000⟩$  

Funkcja T jest ciągła w swojej dziedzinie.

---

Rozważmy funkcję 

$f\left(x\right)=T\left(h\right)-97,\text{gdzie}h\in ⟨0,2000⟩$  

---

Zauważmy, że 

• $f\left(800\right)=T\left(800\right)-97=103,79-0,1895\sqrt{800+400}-97=$  

$=103,79-0,1895\cdot 20\sqrt{3}-97=6,79-3,79\sqrt{3}\approx 0,2>0$  

• $f\left(900\right)=T\left(900\right)-97=103,79-0,1895\sqrt{900+400}-97=$   

$=103,79-0,1895\cdot 10\sqrt{13}-97=6,79-1,895\sqrt{13}\approx -0,04<0$  

---

Funkcja f jest ciągła (ponieważ różnica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą) w przedziale domkniętym <0,2000>. 

Ponadto wiadomo, że f(800)>0 i f(900)<0 zatem na mocy twierdzenia Darboux istnieje taka liczba c ∈ (800,900), dla której

$f\left(c\right)=0$  

wówczas liczba c jest miejscem zerowym funkcji f, czyli jest jednocześnie rozwiązaniem równania T(h)=97. 

---

Otrzymaliśmy więc, że równanie T(h)=97 ma rozwiązanie w przedziale (800,900). 

Zatem pomiędzy 800 m n.p.m. a 900 m n.p.m. jest taki punkt, w którym woda wrze w temperaturze 97°C.

c.n.d.