a)

Zbadamy czy istnieje granica funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|x\right|}^3-5x^2}{{\left|x\right|}^2}$  

w punkcie 0. 

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej wzór funkcji f możemy zapisać w postaci 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3-5x^2}{x^2}=x-5\text{,}& \text{jesˊli}x\ge 0\\ \frac{-x^3-5x^2}{{\left(-x\right)}^2}=-x-5\text{,}& \text{jesˊli}x<0\end{array}$  

Obliczamy granice jednostronne 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x-5\right)=-5$  
• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x-5\right)=-5$  

granice jednostronne istnieją i są równe. Zatem granica funkcji f w punkcie 0 istnieje i jest równa -5

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-5$  

---

b)

Zbadamy istnienie granicy funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|x\right|}^3-5x}{\left|x\right|}$  

w punkcie 0. 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3-5x}{x}=x^2-5\text{,}& \text{jesˊli}x\ge 0\\ \frac{-x^3-5x}{-x}=x^2+5\text{,}& \text{jesˊli}x<0\end{array}$  

Obliczamy granice jednostronne:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2-5\right)=-5$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+5\right)=5$  

granice jednostronne istnieją, ale są różne. Zatem nie istnieje granica funkcji f w punkcie 0.