a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-15x-10$

Dziedzina:

$D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{3}{x}^3+x^2-15x-10\right]{}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }+\left(x^2\right){}^{\prime }-15\left(x\right){}^{\prime }-\left(10\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+2x-15\cdot 1-0=x^2+2x-15$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2+2x-15$

Dziedzina:

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$x^2+2x-15=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$  

$\sqrt{\Delta }=8$  

$x_1=\frac{-2-8}{2}=-5$  

$x_2=\frac{-2+8}{2}=3$  

czyli 

$x=-5\vee x=3$  

Badamy znak pochodnej. 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f'(x)=x²+2x-15

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-5,3\right)$  

Tworzymy tabelkę: 

$x$	$\left(-\infty ,-5\right)$	$-5$	$\left(-5,3\right)$	$3$	$\left(3,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$

Symbol ↗ (odpowiednio ↘) oznacza, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio malejąca) w danym przedziale. 

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu -5 jest rosnąca, a w prawostronnym sąsiedztwie malejąca. To znaczy, że w punkcie -5 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. W lewostronnym sąsiedztwie punktu 3 funkcja f jest malejąca, a w prawostronnym sąsiedztwie jest rosnąca, czyli w punkcie 3 jest minimum lokalne właściwe. 

Obliczamy:

$f\left(-5\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-5\right)}^3+{\left(-5\right)}^2-15\cdot \left(-5\right)-10=-\frac{125}{3}+25+75-10=\frac{145}{3}=48\frac{1}{3}$  

$f\left(3\right)=\frac{1}{3}\cdot 3^3+3^2-15\cdot 3-10=9+9-45-10=-37$  

Otrzymaliśmy więc, że funkcja f ma dwa ekstrema lokalne:

• $f_{\max }\left(-5\right)=48\frac{1}{3}$  
• $f_{\min }\left(3\right)=-37$  

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+5x^2-24x+57$

Dziedzina:

$D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[-\frac{1}{3}{x}^3+5x^2-24x+57\right]{}^{\prime }=-\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }+5\left(x^2\right){}^{\prime }-24\left(x\right){}^{\prime }+\left(57\right){}^{\prime }=$  

$=-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+5\cdot 2x-24\cdot 1+0=-x^2+10x-24$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-x^2+10x-24$

Dziedzina:

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$-x^2+10x-24=0$  

$\Delta ={10}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-24\right)=100-96=4$  

$\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{-10-2}{-2}=6$  

$x_2=\frac{-10+2}{-2}=4$  

czyli 

$x=4\vee x=6$  

Badamy znak pochodnej. 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f'(x)=-x²+10x-24

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(4,6\right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,4\right)\cup \left(6,+\infty \right)$  

Tworzymy tabelkę: 

$x$	$\left(-\infty ,4\right)$	$4$	$\left(4,6\right)$	$6$	$\left(6,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$

Symbol ↗ (odpowiednio ↘) oznacza, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio malejąca) w danym przedziale. 

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu 4 jest malejąca, a w prawostronnym sąsiedztwie rosnąca. To znaczy, że w punkcie 4 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. W lewostronnym sąsiedztwie punktu 6 funkcja f jest malejąca, a w prawostronnym sąsiedztwie jest rosnąca, czyli w punkcie 6 jest maksimum lokalne właściwe. 

Obliczamy:

$f\left(4\right)=-\frac{1}{3}\cdot 4^3+5\cdot 4^2-24\cdot 4+57=-\frac{64}{3}+80-96+57=\frac{59}{3}=19\frac{2}{3}$  

$f\left(6\right)=-\frac{1}{3}\cdot 6^3+5\cdot 6^2-24\cdot 6+57=-72+180-144+57=21$  

Otrzymaliśmy więc, że funkcja f ma dwa ekstrema lokalne:

• $f_{\max }\left(6\right)=21$  
• $f_{\min }\left(4\right)=19\frac{2}{3}$  

---

c)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+8x-3$

Dziedzina:

$D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+8x-3\right]{}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }-2\left(x^2\right){}^{\prime }+8\left(x\right){}^{\prime }-\left(3\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-2\cdot 2x+8\cdot 1-0=x^2-4x+8$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2-4x+8$

Dziedzina:

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$x^2-4x+8=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0$  

wyróżnik △ jest mniejszy od zera, czyli równanie f'(x)=0 nie ma rozwiązania, tym samym funkcja f nie ma punktów krytycznych. 

Zatem funkcja f nie ma ekstremów lokalnych. 

---

d)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-x+18$

Dziedzina:

$D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-x+18\right]{}^{\prime }=-\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }+\left(x^2\right){}^{\prime }-\left(x\right){}^{\prime }+\left(18\right){}^{\prime }=$  

$=-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+2x-1+0=-x^2+2x-1=-\left(x^2-2x+1\right)=-{\left(x-1\right)}^2$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-{\left(x-1\right)}^2$

Dziedzina:

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$-{\left(x-1\right)}^2=0$  

${\left(x-1\right)}^2=0$  

$x=1$  

Badamy znak pochodnej. 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f'(x)=-(x-1)²

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Tworzymy tabelkę: 

$x$	$\left(-\infty ,1\right)$	$1$	$\left(1,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	brak ekstremum	$\searrow$

Symbol ↗ (odpowiednio ↘) oznacza, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio malejąca) w danym przedziale. 

Funkcja f w sąsiedztwie punktu 1 jest malejąca- zatem w tym punkcie nie ma ekstremum lokalnego. 

Podsumowując funkcja f nie ma ekstremów lokalnych.