Wyznacz pochodną funkcji...- Zadanie 6.84: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x, a funkcja g ma pochodną w punkcie f(x), to funkcja złożona g ൦ f ma pochodną w punkcie x i prawdziwa jest równość

$(g \circ f)^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = 5 x^{3} (6 x - 9)^{5}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R.

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (6x-9)⁵

$[(6 x - 9)^{5}]^{'} = 5 \cdot (6 x - 9)^{4} \cdot (6 x - 9)^{'} = 5 \cdot (6 x - 9)^{4} \cdot (6 (x)^{'} - (9)^{'}) =$

$= 5 \cdot (6 x - 9)^{4} \cdot (6 \cdot 1 - 0) = 5 \cdot (6 x - 9)^{4} \cdot 6 = 30 (6 x - 9)^{4}$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dostajemy

$f^{'} (x) = [5 x^{3} (6 x - 9)^{5}]^{'} = [5 x^{3}]^{'} \cdot (6 x - 9)^{5} + 5 x^{3} \cdot [(6 x - 9)^{5}]^{'} =$

$= 5 \cdot 3 x^{2} \cdot (6 x - 9)^{5} + 5 x^{3} \cdot 30 (6 x - 9)^{4} = 15 x^{2} \cdot (6 x - 9)^{5} + 150 x^{3} (6 x - 9)^{4} =$

$= 15 x^{2} (6 x - 9)^{4} \cdot (6 x - 9 + 10 x) = 15 x^{2} (6 x - 9)^{4} \cdot (16 x - 9)$

czyli

$f^{'} (x) = 15 x^{2} (6 x - 9)^{4} \cdot (16 x - 9), D_{f^{'}} = R$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = x^{- 4} \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{3}$

Dziedzina:

$x \neq = 0 D_{f} = R ∖ {0}$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (x⁴ - x³ + x)³

$[(x^{4} - x^{3} + x)^{3}]^{'} = 3 \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{'} =$

$= 3 \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot ((x^{4})^{'} - (x^{3})^{'} + (x)^{'}) = 3 \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot (4 x^{3} - 3 x^{2} + 1)$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji i stałej i na pochodną różnicy dostajemy

$f^{'} (x) = [x^{- 4} \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{3}]^{'} = (x^{- 4})^{'} \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{3} + x^{- 4} \cdot [(x^{4} - x^{3} + x)^{3}]^{'} =$

$= - 4 x^{- 5} \cdot (x^{4} - x^{3} + x)^{3} + x^{- 4} \cdot 3 (x^{4} - x^{3} + x)^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) =$

$= x^{- 4} (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot [- 4 x^{- 1} \cdot (x^{4} - x^{3} + x) + 3 (4 x^{3} - 3 x^{2} + 1)] =$

$= x^{- 4} (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot [- 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 3] =$

$= x^{- 4} (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot (8 x^{3} - 5 x^{2} - 1)$

czyli

$f^{'} (x) = x^{- 4} (x^{4} - x^{3} + x)^{2} \cdot (8 x^{3} - 5 x^{2} - 1), D_{f^{'}} = R ∖ {0}$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = (2 x^{4} - x^{2})^{3} \cdot (4 - 2 x)$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R.

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (2x⁴-x²)³

$[(2 x^{4} - x^{2})^{3}]^{'} = 3 \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{2} \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{'} = 3 \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{2} \cdot (2 (x^{4})^{'} - (x^{2})^{'}) =$
$= 3 \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{2} \cdot (2 \cdot 4 x^{3} - 2 x) = 3 \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{2} \cdot (8 x^{3} - 2 x)$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dostajemy

$f^{'} (x) = [(2 x^{4} - x^{2})^{3} \cdot (4 - 2 x)]^{'} = [(2 x^{4} - x^{2})^{3}]^{'} \cdot (4 - 2 x) + (2 x^{4} - x^{2})^{3} \cdot (4 - 2 x)^{'} =$

$= 3 \cdot (2 x^{4} - x^{2})^{2} \cdot (8 x^{3} - 2 x) \cdot (4 - 2 x) + (2 x^{4} - x^{2})^{3} \cdot (- 2) =$

$= (2 x^{4} - x^{2})^{2} (3 \cdot (8 x^{3} - 2 x) \cdot (4 - 2 x) - 2 (2 x^{4} - x^{2})) =$

$= (2 x^{4} - x^{2})^{2} (3 \cdot (- 16 x^{4} + 32 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x) - 4 x^{4} + 2 x^{2}) =$

$= (2 x^{4} - x^{2})^{2} (- 52 x^{4} + 96 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x)$

czyli

$f^{'} (x) = (2 x^{4} - x^{2})^{2} (- 52 x^{4} + 96 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x), D_{f^{'}} = R$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = (x^{2} - x)^{2} \cdot (x^{3} - 1)^{2}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R.

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (x²-x)²

$[(x^{2} - x)^{2}]^{'} = 2 \cdot (x^{2} - x)^{1} \cdot (x^{2} - x)^{'} =$

$= 2 (x^{2} - x) \cdot ((x^{2})^{'} - (x)^{'}) = 2 (x^{2} - x) (2 x - 1)$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (x³-1)²

$[(x^{3} - 1)^{2}]^{'} = 2 \cdot (x^{3} - 1)^{1} \cdot (x^{3} - 1)^{'} = 2 \cdot (x^{3} - 1) \cdot ((x^{3})^{'} - (1)^{'}) =$

$= 2 \cdot (x^{3} - 1) \cdot (3 x^{2}) = 6 x^{2} (x^{3} - 1)$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dostajemy

$f^{'} (x) = [(x^{2} - x)^{2} \cdot (x^{3} - 1)^{2}]^{'} = [(x^{2} - x)^{2}]^{'} \cdot (x^{3} - 1)^{2} + (x^{2} - x)^{2} \cdot [(x^{3} - 1)^{2}]^{'} =$ $= 2 (x^{2} - x) (2 x - 1) \cdot (x^{3} - 1)^{2} + (x^{2} - x)^{2} \cdot 6 x^{2} \cdot (x^{3} - 1) =$

$= 2 (x^{2} - x) (x^{3} - 1) ((2 x - 1) (x^{3} - 1) + (x^{2} - x) \cdot 3 x^{2}) =$

$= 2 (x^{2} - x) (x^{3} - 1) (2 x^{4} - x^{3} - 2 x + 1 + 3 x^{4} - 3 x^{3}) =$

$= 2 (x^{2} - x) (x^{3} - 1) (5 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x + 1)$

czyli

$f^{'} (x) = 2 (x^{2} - x) (x^{3} - 1) (5 x^{4} - 4 x^{3} - 2 x + 1), D_{f^{'}} = R$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}{( x - 2 ) ^{2}}$

Dziedzina:

$x \in R / {2}$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (x²+1)³

$[(x^{2} + 1)^{3}]^{'} = 3 \cdot (x^{2} + 1)^{2} \cdot (x^{2} + 1)^{'} =$

$= 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot ((x^{2})^{'} + (1)^{'}) = 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot 2 x = 6 x (x^{2} + 1)$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (x - 2)²

$[(x - 2)^{2}]^{'} = 2 \cdot (x - 2)^{1} \cdot (x - 2)^{'} = 2 \cdot (x - 2) \cdot ((x)^{'} - (2)^{'}) =$

$= 2 \cdot (x - 2) \cdot 1 = 2 (x - 2)$

Korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy

$f^{'} (x) = [\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}{( x - 2 ) ^{2}}]^{'} = \frac{[ ( x ^{2} + 1 ) ^{3} ] ^{'} \cdot ( x - 2 ) ^{2} - ( x ^{2} + 1 ) ^{3} \cdot [ ( x - 2 ) ^{2} ] ^{'}}{( x - 2 ) ^{4}} =$

$= \frac{6 x ( x ^{2} + 1 ) ^{2} \cdot ( x - 2 ) ^{2} - ( x ^{2} + 1 ) ^{3} \cdot 2 \cdot ( x - 2 )}{( x - 2 ) ^{4}} =$

$= \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2} ( x - 2 ) [ 3 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} + 1 ) ]}{( x - 2 ) ^{4}} =$

$= \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2} [ 3 x ^{2} - 6 x - x ^{2} - 1 ]}{( x - 2 ) ^{3}} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2} [ 2 x ^{2} - 6 x - 1 ]}{( x - 2 ) ^{3}}$

czyli

$f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2} [ 2 x ^{2} - 6 x - 1 ]}{( x - 2 ) ^{3}}, D_{f^{'}} = R \ {2}$

Wyznaczymy pochodną funkcji

$f (x) = \frac{( 2 x + 3 ) ^{4}}{( 3 x + 1 ) ^{5}}$

Dziedzina:

$D_{f} = R \ {- \frac{1}{3}}$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (2x+3)⁴

$[(2 x + 3)^{4}]^{'} = 4 \cdot (2 x + 3)^{3} \cdot (2 x + 3)^{'} =$

$= 4 (2 x + 3)^{3} \cdot (2 (x)^{'} + (3)^{'}) = 4 (2 x + 3)^{3} \cdot 2 = 8 (2 x + 3)^{3}$

Obliczamy pochodną funkcji złożonej y = (3x+1)⁵

$[(3 x + 1)^{5}]^{'} = 5 \cdot (3 x + 1)^{4} \cdot (3 x + 1)^{'} = 5 \cdot (3 x + 1)^{4} \cdot (3 (x)^{'} - (2)^{'}) =$

$= 5 \cdot (3 x + 1)^{4} \cdot 3 = 15 \cdot (3 x + 1)^{4}$

Korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy

$f^{'} (x) = [\frac{( 2 x + 3 ) ^{4}}{( 3 x + 1 ) ^{5}}]^{'} = \frac{[ ( 2 x + 3 ) ^{4} ] ^{'} \cdot ( 3 x + 1 ) ^{5} - ( 2 x + 3 ) ^{4} \cdot [ ( 3 x + 1 ) ^{5} ] ^{'}}{( 3 x + 1 ) ^{10}} =$