Definicja Niech funkcja f będzie określona w prawostronnym (odpowiednio lewostronnym) sąsiedztwie punktu x0. Prosta o równaniu x = x0 jest asymptotą pionową prawostronną (odpowiednio asymptotą pionową lewostronną) wykresu f wtedy, gdy    $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }=-\infty \text{lub}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }=+\infty$   (odpowiednio  $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }=-\infty \text{lub}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }=+\infty \text{)}$   Jeśli prosta o równaniu x = x0 jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną wykresu funkcji f, to nazywamy ją asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f.

---

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x-6}{x^2+ax+b}$  

chcemy wyznaczyć wartości parametrów a i b, dla których wykres funkcji f ma tylko asymptotę pionową o równaniu x = 4.

---

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu znajdującego się w liczniku ułamka i otrzymujemy

$x^2+x-6=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-1+5}{2}=2$  

czyli 

$x^2+x-6=\left(x+3\right)\left(x-2\right)$  

---

Asymptoty pionowe wykresu mogą mieć postać x=x₀, gdzie x₀ jest miejscem zerowym mianownika ułamka występującego we wzorze funkcji. 

Zatem żeby wykres funkcji f miał tylko jedną asymptotę pionową o równaniu x = 4 możliwe są przypadki 

(1) liczba 4 musi być jedynym pierwiastkiem trójmianu znajdującego się w mianowniku ułamka;

lub

(2) liczba 4 musi być jednym z pierwiastków trójmianu znajdującego się w mianowniku ułamka, a drugi z pierwiastków musi być taki równy -3 lub 2 (musi być równy jednemu z pierwiastków z trójmianu znajdującego się w liczniku ułamka). 

---

Ad.1. 

Liczba 4 ma być jedynym pierwiastkiem trójmianu x²+ax+b, czyli otrzymujemy równanie 

${\left(x-4\right)}^2=x^2+ax+b$  

$x^2-8x+16=x^2+ax+b$   

z równości wielomianów mamy 

$\{\begin{array}{l}a=-8\\ b=16\end{array}$  

Dla a = -8 i b = 16 zapisujemy wzór funkcji f 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x-6}{x^2-8x+16}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{{\left(x-4\right)}^2}$  

Liczba 4 jest jedynym miejscem zerowym mianownika ułamka we wzorze funkcji, granice jednostronne w tym punkcie są niewłaściwe, więc prosta x = 4 jest jedyną asymptotą wykresu funkcji f. 

---

Ad.2. 

• Pierwiastkami trójmianu w mianowniku ułamka są liczby 4 i -3. 

Liczby 4 i -3 mają być pierwiastkami trójmianu x²+ax+b, czyli otrzymujemy równanie 

$\left(x-4\right)\left(x+3\right)=x^2+ax+b$  

$x^2+3x-4x-12=x^2+ax+b$  

$x^2-x-12=x^2+ax+b$  

z równości wielomianów mamy 

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-12\end{array}$  

Dla a = -1 i b = -12 zapisujemy wzór funkcji f 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x-6}{x^2-x-12}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-4\right)\left(x+3\right)}=\frac{x-2}{x-4}$  

Miejscami zerowymi mianownika ułamka są liczby 4 i -3, w punkcie -3 granice jednostronne są skończone, czyli prosta x = -3 nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji. W punkcie 4 granice jednostronne są niewłaściwe (licznik ułamka jest różny od zera, mianownik ułamka dąży do zera), więc prosta x = 4 jest jedyną asymptotą pionową wykresu funkcji f. 

• Pierwiastkami trójmianu w mianowniku ułamka są liczby 4 i 2. 

Liczby 4 i 2 mają być pierwiastkami trójmianu x²+ax+b, czyli otrzymujemy równanie 

$\left(x-4\right)\left(x-2\right)=x^2+ax+b$  

$x^2-2x-4x+8=x^2+ax+b$  

$x^2-6x+8=x^2+ax+b$  

z równości wielomianów mamy 

$\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=8\end{array}$  

Dla a = -6 i b = 8 zapisujemy wzór funkcji f 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x-6}{x^2-6x+8}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}=\frac{x+3}{x-4}$  

Miejscami zerowymi mianownika ułamka są liczby 4 i -3, w punkcie 2 granice jednostronne są skończone, czyli prosta x = 2 nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji. W punkcie 4 granice jednostronne są niewłaściwe (licznik ułamka jest różny od zera, mianownik ułamka dąży do zera), więc prosta x = 4 jest jedyną asymptotą pionową wykresu funkcji f. 

---

Z przypadków (1) i (2) otrzymujemy, że dla

(a = -8 i b = 16) lub (a  = -1 i b = -12) lub (a = -6 i b = 8)

wykres funkcji f ma tylko jedną asymptotę pionową x = 4. 

---

Odp. (a = -8 i b = 16) lub (a  = -1 i b = -12) lub (a = -6 i b = 8).