Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0).  Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, gdy                                                                                                                         istnieje właściwa granica   $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$    oraz  prawdziwa jest równość    $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

---

Dana jest funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+b\text{,}& \text{jesˊli}x\in \left(-\infty ,-2\right)\\ x-a\text{,}& \text{jesˊli}x\in ⟨-2,3)\\ \frac{a}{x}+b\text{,}& \text{jesˊli}x\in ⟨3,+\infty )\end{array}$  

---

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja f jest ciągła w przedziałach otwartych

$\left(-\infty ,-2\right),\left(-2,3\right),\left(3,+\infty \right)$  

(ponieważ funkcje wielomianowe, wymierne są ciągłe w swych dziedzinach). 

Zatem żeby funkcja f była ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych, wystarczy tak dobrać wartości parametrów a i b żeby funkcja f była ciągła w punktach -2 i 3. 

---

Zacznijmy od ciągłości funkcji f w punkcie -2. 

Obliczamy granice jednostronne funkcji w punkcie -2 

• $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(a{x}^2+b\right)=4a+b$  
   
• $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(x-a\right)=-2-a$  

Żeby funkcja f była ciągła w punkcie -2, musi istnieć granica właściwa w tym punkcie, czyli granice jednostronne muszą być równe. 

Skąd mamy 

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$  

$4a+b=-2-a$  

Dla parametrów a i b spełniających powyższe równanie istnieje granica właściwa funkcji f w punkcie -2 równa każdej z granic jednostronnych. 

Zatem mamy 

$f\left(-2\right)=-2-a=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)$  

więc dla 4a+b=-2-a  funkcja f jest ciągła w punkcie -2. 

---

Zajmiemy się teraz ciągłością w punkcie 3. 

Obliczamy granice jednostronne funkcji w punkcie 3 

• $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(x-a\right)=3-a$  
   
• $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(\frac{a}{x}+b\right)=\frac{a}{3}+b$  

Żeby funkcja f była ciągła w punkcie 3, musi istnieć granica właściwa w tym punkcie, czyli granice jednostronne muszą być równe. 

Skąd mamy 

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)$  

$3-a=\frac{a}{3}+b$  

Dla parametrów a i b spełniających powyższe równanie istnieje granica właściwa funkcji f w punkcie 3 równa każdej z granic jednostronnych. 

Zatem mamy 

$f\left(3\right)=\frac{a}{3}+b=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$  

więc dla 3-a=^a/₃+b funkcja f jest ciągła w punkcie 3. 

---

Ostatecznie otrzymujemy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze R, gdy 

$\{\begin{array}{l}4a+b=-2-a\\ 3-a=\frac{a}{3}+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a+b=-2\\ \frac{4}{3}a+b=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-2-5a\\ \frac{4}{3}a-2-5a=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-2-5a\\ -\frac{11}{3}a=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-2-5a\\ a=-\frac{15}{11}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-2-5\cdot \left(-\frac{15}{11}\right)\\ a=-\frac{15}{11}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{53}{11}\\ a=-\frac{15}{11}\end{array}$  

---

Odp. a = -¹⁵/₁₁ i b = ⁵³/₁₁.