Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x0). Granicą funkcji f w punkcie x0 jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) takiego, że  $x_n\in S\left(x_0\right)\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=x_0$   prawdziwa jest równość  $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$   Wówczas zapisujemy  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g$

---

a)

Dziedziną funkcji

$f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}$  

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów mamy 

$x^3-1=x^3-1^3=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(x-1\right)}}^1\left(x^2+x+1\right)}{{\cancel{\left(x-1\right)}}_1}=x^2+x+1,x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(1) i zbieżny do liczby 1, czyli 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$  

Wówczas dostajemy, że 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n^2+x_n+1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^2+\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+1=1^2+1+1=3$  

zatem 

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=3$  

---

b)

Dziedziną funkcji

$f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}$  

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów mamy 

$x^3-1=x^3-1^3=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(x-1\right)}}^1\left(x^2+x+1\right)}{{\cancel{\left(x-1\right)}}_1}=x^2+x+1,x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-1) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n ≠ 1, oraz

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-1$  

Wówczas dostajemy, że 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n^2+x_n+1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^2+\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+1={\left(-1\right)}^2-1+1=1$  

zatem 

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=1$  

---

c)

Dziedziną funkcji

$f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^3+8}$  

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy 

$x^3+8=x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(x+2\right)}}^1}{{\cancel{\left(x+2\right)}}_1\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{1}{x^2-2x+4},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(2). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(2) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n ≠ -2, oraz

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$  

Wówczas mamy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n^2-2x_n+4}=\frac{1}{2^2-2\cdot 2+4}=\frac{1}{4}$  

zatem 

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x^3+8}=\frac{1}{4}$  

---

d)

Dziedziną funkcji

$f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^3+8}$  

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy 

$x^3+8=x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(x+2\right)}}^1}{{\cancel{\left(x+2\right)}}_1\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{1}{x^2-2x+4},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-2). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-2) i zbieżny do liczby -2, czyli 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-2$  

Wówczas mamy 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n^2-2x_n+4}=\frac{1}{{\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+4}=\frac{1}{12}$  

zatem 

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{x^3+8}=\frac{1}{12}$  

---

e)

Dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{x-27}{\sqrt[3]{x}-3}$  

jest zbiór

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{27\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów mamy 

$x-27=\sqrt[3]{x}-3^3=\left(\sqrt[3]{x}-3\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9\right)$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(\sqrt[3]{x}-3\right)}}^1\left(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9\right)}{{\cancel{\left(\sqrt[3]{x}-3\right)}}_1}=\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9,x\in \mathbb{R}\backslash \left\{27\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(27). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(27) i zbieżny do liczby 27, czyli 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=27$  

Wówczas dostajemy, że 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x_n^2}+3\sqrt[3]{x_n}+9\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{x_n^2}+3\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{x_n}+9=\sqrt[3]{{27}^2}+3\cdot \sqrt[3]{27}+9=27$  

zatem 

$\underset{x\to 27}{\lim }\frac{x-27}{\sqrt[3]{x}-3}=27$   

---

f)

Dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt[3]{x}+4}{x+64}$  

jest zbiór

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-64\right\}$  

Zapiszemy wzór funkcji f w prostszej postaci. 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy 

$x+64={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3+4^3=\left(\sqrt[3]{x}+4\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16\right)$

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{{\cancel{\left(\sqrt[3]{x}+4\right)}}^1}{{\cancel{\left(\sqrt[3]{x}+4\right)}}_1\left(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16\right)}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-64\right\}$  

Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-64). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-64) i zbieżny do liczby -64, czyli 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-64$  

Wówczas dostajemy, że 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x_n^2}-4\sqrt[3]{x_n}+16}\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{-64}\right)}^2-4\sqrt[3]{-64}+16}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)+16}=\frac{1}{48}$  

zatem 

$\underset{x\to -64}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}+4}{x+64}=\frac{1}{48}$