Korzystając z definicji Heinego...- Zadanie 6.2: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja

Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀).

Granicą funkcji f w punkcie x₀ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) takiego, że

$x_{n} \in S (x_{0}) i n \to + \infty lim x_{n} = x_{0}$

prawdziwa jest równość

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = g$

Wówczas zapisujemy

$x \to x_{0} lim f (x) = g$

Dziedziną funkcji

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$

jest zbiór

$D = R \ {1}$

Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(2). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(2) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n ≠ 1, oraz

$n \to + \infty lim x_{n} = 2$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n}^{2} - 1}{x _{n} - 1} = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} - 1 ) ^{1} ( x _{n} + 1 )}{( x _{n} - 1 ) _{1}} = n \to + \infty lim (x_{n} + 1) = n \to + \infty lim x_{n} + 1 = 2 + 1 = 3$

zatem

$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 3$

Dziedziną funkcji

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$

jest zbiór

$D = R \ {1}$

Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(1) i zbieżny do liczby 1, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = 1$

Wówczas otrzymujemy, że

zatem

$x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$

Dziedziną funkcji

$f (x) = \frac{4 + x}{16 - x ^{2}}$

jest zbiór

$D = R \ {- 4, 4}$

Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(-4). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-4) i zbieżny do liczby -4, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = - 4$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{4 + x _{n}}{16 - x _{n}^{2}} = n \to + \infty lim \frac{( 4 + x _{n} ) ^{1}}{( 4 + x _{n} ) _{1} ( 4 - x _{n} )} = n \to + \infty lim \frac{1}{4 - x _{n}} = \frac{1}{4 - ( - 4 )} = \frac{1}{8}$

zatem

$x \to - 4 lim \frac{4 + x}{16 - x ^{2}} = \frac{1}{8}$

Dziedziną funkcji

$f (x) = \frac{4 + x}{16 - x ^{2}}$

jest zbiór

$D = R \ {- 4, 4}$

Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(3). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(3) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n≠ {-4, 4}, oraz

$n \to + \infty lim x_{n} = 3$

Wówczas otrzymujemy, że

zatem

$x \to 3 lim \frac{4 + x}{16 - x ^{2}} = 1$

$f (x) = \frac{x - 9}{x - 3}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji i otrzymujemy

$x - 3 \neq = 0 \land x \geq 0$

$x \neq = 3 ∣^{2}$

$x \neq = 9$

czyli

$D = ⟨ 0, 9) \cup (9, + \infty)$

Funkcja jest określona w sąsiedztwie S(16). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(16) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n∈ <0,9) U (9,+oo), oraz

$n \to + \infty lim x_{n} = 16$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n} - 9}{x _{n} - 3} = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} - 3 ) ^{1} ( x _{n} + 3 )}{( x _{n} - 3 ) _{1}} = n \to + \infty lim (x_{n} + 3) = n \to \infty lim x_{n} + 3 = 16 + 3 = 7$

zatem

$x \to 16 lim \frac{x - 9}{x - 3} = 7$

$f (x) = \frac{x - 9}{x - 3}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji i otrzymujemy

$x - 3 \neq = 0 \land x \geq 0$

$x \neq = 3 ∣^{2}$

$x \neq = 9$

czyli

$D = ⟨ 0, 9) \cup (9, + \infty)$

Funkcja jest określona w sąsiedztwie S(9). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(9) taki, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek x_n∈ <0,9) U (9,+oo), oraz

$n \to + \infty lim x_{n} = 9$