Korzystając z definicji Heinego...- Zadanie 6.1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja

Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀).

Granicą funkcji f w punkcie x₀ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) takiego, że

$x_{n} \in S (x_{0}) i n \to + \infty lim x_{n} = x_{0}$

prawdziwa jest równość

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = g$

Wówczas zapisujemy

$x \to x_{0} lim f (x) = g$

Dziedziną funkcji f(x) = 4x - 8 jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(2). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(2) i zbieżny do liczby 2, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = 2$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (4 x_{n} - 8) = 4 \cdot n \to + \infty lim x_{n} - 8 = 4 \cdot 2 - 8 = 0$

zatem

$x \to 2 lim (4 x - 8) = 0$

Dziedziną funkcji f(x) = 6 - 2x jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(-1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-1) i zbieżny do liczby -1, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = - 1$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (6 - 2 x_{n}) = 6 - 2 \cdot n \to + \infty lim x_{n} - 8 = 6 - 2 \cdot (- 1) = 8$

zatem

$x \to - 1 lim (6 - 2 x) = 8$

Dziedziną funkcji f(x) = 7x - 3 jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(0). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(0) i zbieżny do liczby 0, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = 0$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (7 x_{n} - 3) = 7 \cdot n \to + \infty lim x_{n} - 3 = 7 \cdot 0 - 3 = - 3$

zatem

$x \to 0 lim (7 x - 3) = - 3$

Dziedziną funkcji f(x) = x²- 2x jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(3). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(3) i zbieżny do liczby 3, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = 3$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (x_{n}^{2} - 2 x_{n}) = n \to + \infty lim x_{n}^{2} - 2 \cdot n \to + \infty lim x_{n} = 3^{2} - 2 \cdot 3 = 3$

zatem

$x \to 3 lim (x^{2} - 2 x) = 3$

Dziedziną funkcji f(x) = 2x²+ 5x - 1 jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(-4). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-4) i zbieżny do liczby -4, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = - 4$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (2 x_{n}^{2} + 5 x_{n} - 1) = 2 \cdot n \to + \infty lim x_{n}^{2} + 5 \cdot n \to + \infty lim x_{n} - 1 = 2 \cdot (- 4)^{2} + 5 \cdot (- 4) - 1 = 32 - 20 - 1 = 11$

zatem

$x \to - 4 lim (2 x^{2} + 5 x - 1) = 11$

Dziedziną funkcji f(x) = -2x²+ 4x + 7 jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(0). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(0) i zbieżny do liczby 0, czyli

$n \to + \infty lim x_{n} = 0$

Wówczas otrzymujemy, że

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim (- 2 x_{n}^{2} + 4 x_{n} + 7) = - 2 \cdot n \to + \infty lim x_{n}^{2} + 4 \cdot n \to + \infty lim x_{n} + 7 = - 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 7 = 7$