Przekątne czworokąta...- Zadanie 10: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Pole trójkąta o bokach długości a i b oraz kącie o mierze α zawartym między tymi bokami, możemy obliczyć ze wzoru

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin α$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Zauważmy, że ze wzoru redukcyjnego zachodzi

$sin β = sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

Zapiszmy jak wyglądają wzory na pole każdego z trójkątów.

$P_{1} = \frac{1}{2} d_{1} d_{4} sin α = 4 \frac{2}{3} P_{2} = \frac{1}{2} d_{3} d_{4} sin β = \frac{1}{2} d_{3} d_{4} sin α = 14 P_{3} = \frac{1}{2} d_{2} d_{3} sin α P_{4} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin β = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α = 9 \frac{1}{3}$

Chcemy obliczyć pole P₃, aby obliczyć pole całego czworokąta. Zauważmy, że

$\frac{1}{2} d_{1} d_{4} sin α = 4 \frac{2}{3} d_{1} d_{4} sin α = 9 \frac{1}{3} (*)$

Wyliczmy ze znanych wartości wielkości potrzebne do obliczenia pola P₃. Mamy

$\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α = 9 \frac{1}{3} \to d_{2} = \frac{2 \cdot 9 \frac{1}{3}}{d _{1} sin α} \frac{1}{2} d_{3} d_{4} sin α = 14 \to d_{3} = \frac{2 \cdot 14}{d _{4} sin α} \frac{1}{2} d_{1} d_{4} sin α = 4 \frac{2}{3} \to sin α = \frac{2 \cdot 4 \frac{2}{3}}{d _{1} d _{4}}$

Wstawmy powyższe wielkości do wzoru na pole P₃

$P_{3} = \frac{1}{2} d_{2} d_{3} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9 \frac{1}{3}}{d _{1} sin α} \cdot \frac{2 \cdot 14}{d _{4} sin α} \cdot \frac{2 \cdot 4 \frac{2}{3}}{d _{1} d _{4}} = \frac{2 \cdot 9 \frac{1}{3} \cdot 14 \cdot 9 \frac{1}{3}}{d _{1}^{2} \cdot d _{4}^{2} sin ^{2} α} = \frac{2 \cdot 14 \cdot ( 9 \frac{1}{3} ) ^{2}}{( d _{1} \cdot d _{4} sin α ) ^{2}} = \dots$