Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASD dostajemy 

$a^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot \cos {45}^{\circ }$  

$a^2=2x^2-2x^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$a^2=2x^2-\sqrt{2}{x}^2$  

$a^2=x^2\left(2-\sqrt{2}\right)\text{i}a>0$  

czyli 

$a=x\sqrt{2-\sqrt{2}}$  

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS dostajemy 

$b^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot \cos {135}^{\circ }$  

$b^2=2x^2-2x^2\cdot \left(-\cos {45}^{\circ }\right)$  

$b^2=2x^2-2x^2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  

$b^2=2x^2+\sqrt{2}{x}^2$  

$b^2=x^2\left(2+\sqrt{2}\right)\text{i}b>0$  

czyli 

$b=x\sqrt{2+\sqrt{2}}$  

---

Z treści zadania wiadomo, że pole prostokąta ABCD jest równe 16√2 cm², czyli 

$P_{ABCD}=16\sqrt{2}$  

$a\cdot b=16\sqrt{2}$  

$x\sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot x\sqrt{2+\sqrt{2}}=16\sqrt{2}$  

$x^2\cdot \sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}=16\sqrt{2}$  

$x^2\cdot \sqrt{4-2}=16\sqrt{2}$  

$x^2\sqrt{2}=16\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$x^2=16\text{i}x>0$  

czyli 

$x=4$  

---

Wyznaczamy długości boków prostokąta ABCD 

• $a=x\sqrt{2-\sqrt{2}}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}$  
• $b=x\sqrt{2+\sqrt{2}}=4\sqrt{2+\sqrt{2}}$