a)

Rozważamy okrąg 

$o:x^2+y^2=1$  

którego środkiem jest punkt S(0,0) i którego promień jest równy r = 1. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej y=ax+b do okręgu o, której kąt nachylenia do osi OX wynosi 60°. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy tej prostej 

$a=\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$  

czyli styczna jest postaci 

$y=\sqrt{3}x+b$  

przekształcamy powyższe równanie do postaci ogólnej

$-\sqrt{3}x+y-b=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(0,0) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|-\sqrt{3}\cdot 0+1\cdot 0-b\right|}{\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2}}=1$  

$\frac{\left|-b\right|}{\sqrt{3+1}}=1$  

$\frac{\left|-b\right|}{\sqrt{4}}=1$  

$\frac{\left|-b\right|}{2}=1\mid \cdot 2$

$\left|-b\right|=2$   

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$-b=2\vee -b=-2$  

$b=-2b=2$  

czyli równanie stycznej do okręgu o i prostopadłej do prostej k jest postaci 

$y=\sqrt{3}x-2\text{lub}y=\sqrt{3}x+2$    

---

b)

Rozważamy okrąg 

$o:{\left(x-1\right)}^2+y^2=4$  

którego środkiem jest punkt S(1,0) i którego promień jest równy r = 2. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej y=ax+b do okręgu o, której kąt nachylenia do osi OX wynosi 120°. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy tej prostej 

$a=\mathrm{tg}{120}^{\circ }=\mathrm{tg}\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}{60}^{\circ }=-\sqrt{3}$  

czyli styczna jest postaci 

$y=-\sqrt{3}x+b$  

przekształcamy powyższe równanie do postaci ogólnej

$\sqrt{3}x+y-b=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(1,0) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 1+1\cdot 0-b\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}}=2$  

$\frac{\left|\sqrt{3}-b\right|}{\sqrt{3+1}}=2$  

$\frac{\left|\sqrt{3}-b\right|}{\sqrt{4}}=2$  

$\frac{\left|\sqrt{3}-b\right|}{2}=2\mid \cdot 2$

$\left|\sqrt{3}-b\right|=4$   

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$\sqrt{3}-b=4\vee \sqrt{3}-b=-4$  

$b=\sqrt{3}-4b=\sqrt{3}+4$  

czyli równanie stycznej do okręgu o i prostopadłej do prostej k jest postaci 

$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-4\text{lub}y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}+4$    

---

c)

Przekształcamy równanie okręgu o do postaci kanonicznej i otrzymujemy 

$x^2+y^2-10x=0$  

$x^2-10x+25-25+y^2=0$  

${\left(x-5\right)}^2+y^2=25$  

którego środkiem jest punkt S(5,0) i którego promień jest równy r = 5. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej y=ax+b do okręgu o, której kąt nachylenia do osi OX wynosi 150°. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy tej prostej 

$a=\mathrm{tg}{150}^{\circ }=\mathrm{tg}\left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}{30}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

czyli styczna jest postaci 

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$  

przekształcamy powyższe równanie do postaci ogólnej

$\frac{\sqrt{3}}{3}x+y-b=0$

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(5,0) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 5+1\cdot 0-b\right|}{\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1^2}}=5$  

$\frac{\left|\frac{5\sqrt{3}}{3}-b\right|}{\sqrt{\frac{3}{9}+1}}=5$  

$\frac{\left|\frac{5\sqrt{3}}{3}-b\right|}{\sqrt{\frac{12}{9}}}=5$  

$\frac{\left|\frac{5\sqrt{3}}{3}-b\right|}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=5\mid \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\left|\frac{5\sqrt{3}}{3}-b\right|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$   

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$\frac{5\sqrt{3}}{3}-b=\frac{10\sqrt{3}}{3}\vee \frac{5\sqrt{3}}{3}-b=-\frac{10\sqrt{3}}{3}$  

$b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}b=5\sqrt{3}$  

czyli równanie stycznej do okręgu o i prostopadłej do prostej k jest postaci 

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{lub}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+5\sqrt{3}$  

---

d)

Przekształcamy równanie okręgu o do postaci kanonicznej i otrzymujemy 

$x^2+y^2-2x+4y-3=0$  

$x^2-2x+1-1+y^2+4y+4-4-3=0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=8$  

którego środkiem jest punkt S(1,-2) i którego promień jest równy r = √8=2√2. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej y=ax+b do okręgu o, której kąt nachylenia do osi OX wynosi 135°. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy tej prostej 

$a=\mathrm{tg}{135}^{\circ }=\mathrm{tg}\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}{45}^{\circ }=-1$  

czyli styczna jest postaci 

$y=-x+b$  

przekształcamy powyższe równanie do postaci ogólnej

$x+y-b=0$

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(1,-2) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|1\cdot 1+1\cdot \left(-2\right)-b\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}$  

$\frac{\left|1-2-b\right|}{\sqrt{1+1}}=2\sqrt{2}$  

$\frac{\left|-1-b\right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$\left|-1-b\right|=4$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$-1-b=4\vee -1-b=-4$  

$b=-5b=3$  

czyli równanie stycznej do okręgu o i prostopadłej do prostej k jest postaci 

$y=-x-5\text{lub}y=-x+3$