Równanie  $x^2+y^2+ax+by+c=0,\text{gdzie}{a}^2+b^2-4c>0$   nazywamy równaniem okręgu w postaci ogólnej. Równanie to opisuje okrąg o środku w punkcie  $S\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$   i promieniu  $r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}.$   Równanie ${\left(x-x_S\right)}^2+{\left(y-y_S\right)}^2=r^2,\text{gdzie}r>0,$   nazywamy równaniem kanonicznym okręgu o środku w punkcie  $S\left(x_S,y_S\right)$  i promieniu r.

---

a)

Dany jest okrąg opisany równaniem 

$x^2+y^2+8x+15=0$  

Przyjmijmy oznaczenia 

$a=8,b=0,c=15$  

Wyznaczamy współrzędne środka tego okręgu:

$-\frac{1}{2}a=-\frac{1}{2}\cdot 8=-4$  

$-\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}\cdot 0=0$  

czyli 

$S\left(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b\right)=\left(-4,0\right)$  

Wyznaczamy długość promienia r:

$r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}=\frac{\sqrt{8^2+0-4\cdot 15}}{2}=\frac{\sqrt{64-60}}{2}=\frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zapisujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej 

${\left(x-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2=1^2$  

$\underline{\underline{{\left(x+4\right)}^2+y^2=1}}$   

---

b)

Dany jest okrąg opisany równaniem 

$x^2+y^2-14x+18y+9=0$  

Przyjmijmy oznaczenia 

$a=-14,b=18,c=9$  

Wyznaczamy współrzędne środka tego okręgu:

$-\frac{1}{2}a=-\frac{1}{2}\cdot \left(-14\right)=7$  

$-\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}\cdot 18=-9$  

czyli

$S\left(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b\right)=\left(7,-9\right)$  

Wyznaczamy długość promienia r:

$r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-14\right)}^2+{18}^2-4\cdot 9}}{2}=\frac{\sqrt{196+324-36}}{2}=\frac{\sqrt{484}}{2}=\frac{22}{2}=11$  

Zapisujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej 

${\left(x-7\right)}^2+{\left(y-\left(-9\right)\right)}^2={11}^2$  

$\underline{\underline{{\left(x-7\right)}^2+{\left(y+9\right)}^2=121}}$   

---

c)

Dany jest okrąg opisany równaniem 

$x^2+y^2-5x-3y-0,5=0$  

Przyjmijmy oznaczenia 

$a=-5,b=-3,c=-0,5$  

Wyznaczamy współrzędne środka tego okręgu:

$-\frac{1}{2}a=-\frac{1}{2}\cdot \left(-5\right)=\frac{5}{2}$  

$-\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)=\frac{3}{2}$  

czyli 

$S\left(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$  

Wyznaczamy długość promienia r:

$r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2-4\cdot \left(-0,5\right)}}{2}=\frac{\sqrt{25+9+2}}{2}=\frac{\sqrt{36}}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zapisujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej 

${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=3^2$  

$\underline{\underline{{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=9}}$   

---

d)

Dany jest okrąg opisany równaniem 

$x^2+y^2+11x-y+5,5=0$  

Przyjmijmy oznaczenia 

$a=11,b=-1,c=5,5$  

Wyznaczamy współrzędne środka tego okręgu:

$-\frac{1}{2}a=-\frac{1}{2}\cdot 11=-\frac{11}{2}$  

$-\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=\frac{1}{2}$  

czyli

$S\left(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b\right)=\left(-\frac{11}{2},\frac{1}{2}\right)$  

Wyznaczamy długość promienia r:

$r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}=\frac{\sqrt{{11}^2+{\left(-1\right)}^2-4\cdot 5,5}}{2}=\frac{\sqrt{121+1-22}}{2}=\frac{\sqrt{100}}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zapisujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej 

${\left(x-\left(-\frac{11}{2}\right)\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=5^2$  

$\underline{\underline{{\left(x+\frac{11}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=25}}$