a)

Określimy położenie prostej 

$k:x+y-4=0$  

względem okręgu 

$o:x^2+y^2=8$  

Równanie okręgu o jest dane w postaci kanonicznej, możemy więc odczytać współrzędne środka S okręgu i promienia r. 

Mamy 

$S\left(0,0\right),r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

Obliczamy odległość punktu S(0,0) od prostej k: x+y-4=0. 

Otrzymujemy 

$d\left(S,k\right)=\frac{\left|1\cdot 0+1\cdot 0-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$  

Zauważmy, że 

$d\left(S,k\right)=r$  

czyli prosta k jest styczna do okręgu o. 

---

b)

Określimy położenie prostej 

$k:x-2y-1=0$  

względem okręgu 

$o:{\left(x-1\right)}^2+y^2=4$  

Równanie okręgu o jest dane w postaci kanonicznej, możemy więc odczytać współrzędne środka S okręgu i promienia r. 

Mamy 

$S\left(1,0\right),r=\sqrt{4}=2$  

Obliczamy odległość punktu S(1,0) od prostej k: x-2y-1=0. 

Otrzymujemy 

$d\left(S,k\right)=\frac{\left|1\cdot 1-2\cdot 0-1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|1-1\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0$  

Zauważmy, że 

$d\left(S,k\right)<r$  

czyli prosta k jest sieczną okręgu o (ma z nim dwa punkty wspólne). 

---

c)

Określimy położenie prostej 

$k:y-3x+5=0$  

względem okręgu 

$o:x^2+y^2+2x-4y=0$  

Równanie okręgu o sprowadzamy do postaci kanonicznej. 

$x^2+y^2+2x-4y=0$  

$x^2+2x+1-1+y^2-4y+4-4=0$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=5$  

Mamy więc

$S\left(-1,2\right),r=\sqrt{5}$  

Obliczamy odległość punktu S(-1,2) od prostej k: -3x+y+5=0. 

Otrzymujemy 

$d\left(S,k\right)=\frac{\left|-3\cdot \left(-1\right)+1\cdot 2+5\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|3+2+5\right|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$  

Zauważmy, że 

$d\left(S,k\right)>r$  

czyli prosta k jest rozłączna z okręgiem o. 

---

d)

Określimy położenie prostej 

$k:x-4y-4=0$  

względem okręgu 

$o:x^2+y^2-6x+8y+9=0$  

Równanie okręgu o sprowadzamy do postaci kanonicznej. 

$x^2+y^2-6x+8y+9=0$  

$x^2-6x+\underset{=0}{\underbrace{9-9}}+y^2+8y+\underset{=0}{\underbrace{16-16}}+9=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=16$  

Mamy więc

$S\left(3,-4\right),r=\sqrt{16}=4$  

Obliczamy odległość punktu S(3,-4) od prostej k: x-4y-4=0. 

Otrzymujemy 

$d\left(S,k\right)=\frac{\left|1\cdot 3-4\cdot \left(-4\right)-4\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|3+16-4\right|}{\sqrt{1+16}}=\frac{\left|15\right|}{\sqrt{17}}=\frac{15}{\sqrt{17}}=\frac{15\sqrt{17}}{17}\approx 3,64$  

Zauważmy, że 

$d\left(S,k\right)<r$  

czyli prosta k jest sieczną okręgu o (ma z nim dwa punkty wspólne).