Rysunek pomocniczy 

---

Niech S będzie środkiem ciężkości (punktem przecięcia środkowych) trójkąta równobocznego ABC.

Punkt S jest jednocześnie punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. 

Wiadomo, że 

$\overrightarrow{AS}=\left[2\sqrt{2},-4\right]$  

Obliczamy długość tego wektora

$\text{|}\overrightarrow{AS}\text{|}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{4\cdot 2+16}=\sqrt{8+16}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$  

Długość wektora  $\overrightarrow{AS}$   jest taka sama jak długość odcinka AS. 

Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku 2 : 1 (licząc od wierzchołka), czyli 

$\left|AS\right|=\frac{2}{3}\cdot \left|AD\right|$  

$2\sqrt{6}=\frac{2}{3}\cdot \left|AD\right|\mid :\frac{2}{3}$  

$3\sqrt{6}=\left|AD\right|$

---

Punkt przecięcia środkowych jest jednocześnie punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. 

Zatem wysokość h (h>0) w tym trójkącie wynosi 

$h=\left|AD\right|=3\sqrt{6}$  

---

Oznaczmy przez a (a>0) długość boku trójkąta ABC. 

Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$3\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$6\sqrt{6}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=a$  

czyli usuwając niewymierność z mianownika ułamka mamy 

$a=\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{18}}{3}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{36\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$