a)

Wyznaczamy równanie prostej AB. 

Zauważmy, że prosta przechodząca przez punkty A(-2,3) i B(-2,2) jest postaci 

$x=-2$  

zapisujemy wzór tej prostej w postaci ogólnej 

$\underline{\underline{AB:x+2=0}}$  

Wyznaczamy równanie prostej AC. 

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-2,3) i C(2,0) jest równy 

$a_1=\frac{0-3}{2-\left(-2\right)}=-\frac{3}{4}$  

czyli ta prosta jest postaci 

$y=-\frac{3}{4}x+b_1$  

Punkt C(2,0) spełnia równanie tej prostej, czyli 

$0=-\frac{3}{4}\cdot 2+b_1$  

$0=-\frac{3}{2}+b_1$  

$\frac{3}{2}=b_1$  

czyli ostatecznie 

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$  

przekształcamy wzór prostej do postaci ogólnej i otrzymujemy 

$\frac{3}{4}x+y-\frac{3}{2}=0\mid \cdot 4$  

$3x+4y-6=0$  

zatem 

$\underline{\underline{AC:3x+4y-6=0}}$  

Wyznaczamy równanie prostej BC. 

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty B(-2,2) i C(2,0) jest równy 

$a_2=\frac{0-2}{2-\left(-2\right)}=-\frac{1}{2}$  

czyli ta prosta jest postaci 

$y=-\frac{1}{2}x+b_2$  

Punkt C(2,0) spełnia równanie tej prostej, czyli 

$0=-\frac{1}{2}\cdot 2+b_2$  

$0=-1+b_2$  

$1=b_2$  

czyli ostatecznie 

$y=-\frac{1}{2}x+1$  

przekształcamy wzór prostej do postaci ogólnej i otrzymujemy 

$\frac{1}{2}x+y-1=0\mid \cdot 2$  

$x+2y-2=0$  

zatem 

$\underline{\underline{BC:x+2y-2=0}}$  

Odp. AB: x+2=0, AC: 3x+4y-6=0, BC: x+2y-2=0. 

---

b)

Twierdzenie  Odległość punktu P(x0, y0) od prostej k opisanej równaniem Ax+By+C=0, gdzie A2+B2≠0, wyraża się wzorem  $d\left(P,k\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Zauważmy, że wysokość h_A w trójkącie ABC poprowadzona z wierzchołka A jest równa odległości punktu A(-2,3) od prostej BC: x+2y-2=0. 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

$h_A=\frac{\left|1\cdot \left(-2\right)+2\cdot 3-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|-2+6-2\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{\left|2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

Zauważmy, że wysokość h_B w trójkącie ABC poprowadzona z wierzchołka B jest równa odległości punktu B(-2,2) od prostej AC: 3x+4y-6=0. 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

$h_B=\frac{\left|3\cdot \left(-2\right)+4\cdot 2-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|-6+8-6\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}=0,8$  

Zauważmy, że wysokość h_C w trójkącie ABC poprowadzona z wierzchołka C jest równa odległości punktu C(2,0) od prostej AB: x+2=0. 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

$h_C=\frac{\left|1\cdot 2+0+2\right|}{\sqrt{1^2+0}}=\frac{\left|2+2\right|}{1}=\left|4\right|=4$