Jeśli do prostej należą dwa punkty o współrzędnych (x1, y1), (x2, y2), gdzie x1 ≠ x2, to współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy  $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

---

a)

Rysunek pomocniczy 

Zauważmy, że punkt D jest punktem wspólnym prostych AB i CD. 

Zatem należy wyznaczyć równanie prostych AB i CD a następnie za pomocą odpowiedniego układu równań znaleźć punkt wspólny tych prostych. 

Wyznaczamy równanie prostej AB.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{-2+5}{7+2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$  

czyli prosta AB jest postaci 

$y=\frac{1}{3}x+b_1$  

Punkt A(-2,-5) spełnia równanie prostej AB czyli mamy 

$-5=\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)+b_1$  

$-5=-\frac{2}{3}+b_1$  

$-\frac{13}{3}=b_1$  

więc

$\underline{\underline{AB:y=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}}}$  

Wyznaczamy równanie prostej CD.

Wysokość CD jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez punkt C. 

Prosta CD ma równanie y=ax+b, gdzie

$a\cdot a_{AB}=-1$  

$a\cdot \frac{1}{3}=-1$  

$a=-3$  

czyli równanie tej prostej jest postaci 

$y=-3x+b$  

Punkt C(-1,2) spełnia równanie prostej CD, zatem

$2=-3\cdot \left(-1\right)+b$  

$2=3+b$  

$-1=b$  

ostatecznie mamy 

$\underline{\underline{CD:y=-3x-1}}$  

Punkt D jest punktem wspólnym prostych AB i CD. 

Współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}\\ y=-3x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x-1=\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}\\ y=-3x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{10}{3}x=-\frac{10}{3}\\ y=-3x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-4\end{array}$  

czyli 

$\underline{\underline{D\left(1,-4\right)}}$  

---

b)

Rysunek pomocniczy 

Zauważmy, że punkt D jest punktem wspólnym prostych AB i CD. 

Zatem należy wyznaczyć równanie prostych AB i CD a następnie za pomocą odpowiedniego układu równań znaleźć punkt wspólny tych prostych. 

Wyznaczamy równanie prostej AB.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{-1-1}{2-\left(-4\right)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$  

czyli prosta AB jest postaci 

$y=-\frac{1}{3}x+b_1$  

Punkt A(-4,1) spełnia równanie prostej AB czyli mamy 

$1=-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+b_1$  

$1=\frac{4}{3}+b_1$  

$-\frac{1}{3}=b_1$  

więc

$\underline{\underline{AB:y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}}$  

Wyznaczamy równanie prostej CD.

Wysokość CD jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez punkt C. 

Prosta CD ma równanie y=ax+b, gdzie

$a\cdot a_{AB}=-1$  

$a\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1$  

$a=3$  

czyli równanie tej prostej jest postaci 

$y=3x+b$  

Punkt C(8,2) spełnia równanie prostej CD, zatem

$2=3\cdot 8+b$  

$2=24+b$  

$-22=b$  

ostatecznie mamy 

$\underline{\underline{CD:y=3x-22}}$  

Punkt D jest punktem wspólnym prostych AB i CD. 

Współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\\ y=3x-22\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x-22=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\\ y=3x-22\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{10}{3}x=\frac{65}{3}\\ y=3x-22\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{13}{2}\\ y=3\cdot \frac{13}{2}-22=-\frac{5}{2}\end{array}$  

czyli 

$\underline{\underline{D\left(\frac{13}{2},-\frac{5}{2}\right)}}$