Twierdzenie  Odległość między dwiema prostymi równoległymi k i l, które są dane równaniami ogólnymi $k:Ax+By+C=0\text{i}l:Ax+By+C_1=0,\text{gdzie}{A}^2+B^2\ne 0$   wyraża się wzorem  $d\left(k,l\right)=\frac{\left|C_1-C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

---

a)

Odległość między prostymi równoległymi k: x+y+2=0 i l : x+y-4=0 jest równa

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|-4-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|-6\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$  

---

b)

Przekształcamy równanie prostej l i otrzymujemy 

$5x-10=0\mid :5$  

$x-2=0$  

Wyznaczymy odległość między prostymi równoległymi k: x+6=0 i l : x - 2=0

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|-2-6\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{\left|-8\right|}{1}=8$  

---

c)

Przekształcamy równanie prostej k i otrzymujemy 

$2x-y+3=0\mid :2$  

$x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=0$  

Przekształcamy równanie prostej l i otrzymujemy 

$-3x+1,5y-2=0\mid :\left(-3\right)$  

$x-\frac{1}{2}y+\frac{2}{3}=0$  

Odległość między prostymi równoległymi k: x - ¹/₂y+³/₂=0 i l : x-¹/₂y+²/₃=0 jest równa

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|\frac{2}{3}-\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}}=\frac{\left|-\frac{5}{6}\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{5}{6}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$  

---

d)

Przekształcamy równanie prostej k i otrzymujemy 

$5y+7=0\mid :5$  

$y+\frac{7}{5}=0$  

Przekształcamy równanie prostej l i otrzymujemy 

$3y-20=0\mid :3$  

$y-\frac{20}{3}=0$  

Odległość między prostymi równoległymi k: y+⁷/₅ = 0 i l: y-²⁰/₃=0 jest równa

$d\left(k,l\right)=\frac{\left|-\frac{20}{3}-\frac{7}{5}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{\left|-\frac{100}{15}-\frac{21}{15}\right|}{1}=\left|-\frac{121}{15}\right|=\frac{121}{15}=8\frac{1}{15}$