Skróć dany ułamek algebraiczny...- Zadanie 1.16: Matematyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$\frac{3 x ^{2} ( x - 2 ) + 4 ( x - 2 )}{9 x ^{4} - 16}$

Dziedzina:

$9 x^{4} - 16 \neq = 0$

$(3 x^{2})^{2} - 4^{2} \neq = 0$

$(3 x^{2} - 4) (3 x^{2} + 4) \neq = 0$

$3 x^{2} - 4 \neq = 0 \land 3 x^{2} + 4 \neq = 0$

$x^{2} \neq = \frac{4}{3} wyra \overset{z}{˙} enie prawdziwe dla x \in R, bo x^{2} \geq 0 x^{2} \neq = - \frac{4}{3}$

$x \neq = - \frac{2 3}{3} \land x \neq = \frac{2 3}{3}$

więc

$\underline{x \in R \ {\frac{- 2 3}{3}, \frac{2 3}{3}}}$

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$\frac{3 x ^{2} ( x - 2 ) + 4 ( x - 2 )}{9 x ^{4} - 16} = \frac{( x - 2 ) ( 3 x ^{2} + 4 )}{( 3 x ^{2} - 4 ) ( 3 x ^{2} + 4 )} = \frac{x - 2}{3 x ^{2} - 4}$

$\frac{x ^{3} ( 3 x - 1 ) - ( 1 - 3 x ) x}{27 x ^{3} - 1}$

$x^{3} (3 x - 1) - (1 - 3 x) x = x^{3} (3 x - 1) + (3 x - 1) x = (3 x - 1) (x^{3} + x)$

II.

$27 x^{3} - 1 = (3 x)^{3} - 1^{3} = (3 x - 1) ((3 x)^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) =$

$= (3 x - 1) Δ = 3^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1 = - 27 < 0 (9 x^{2} + 3 x + 1)$

Dziedzina:

$27 x^{3} - 1 \neq = 0$

$x^{3} \neq = \frac{1}{27}$

$x \neq = \frac{1}{3}$

więc

$\underline{x \in R \ {\frac{1}{3}}}$

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$\frac{x ^{3} ( 3 x - 1 ) - ( 1 - 3 x ) x}{27 x ^{3} - 1} = \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{3} + x )}{( 3 x - 1 ) ( 9 x ^{2} + 3 x + 1 )} = \frac{x ^{3} + x}{9 x ^{2} + 3 x + 1}$

$\frac{25 x ^{3} + 50 x ^{2} - x - 2}{5 x ^{2} + 9 x - 2}$

$25 x^{3} + 50 x^{2} - x - 2 = 25 x^{2} (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (25 x^{2} - 1) =$

$= (x + 2) ((5 x)^{2} - 1^{2}) = (x + 2) (5 x - 1) (5 x + 1)$

II.

$5 x^{2} + 9 x - 2 = 5 x^{2} + 10 x - x - 2 = 5 x (x + 2) - (x + 2) = (5 x - 1) (x + 2)$

Dziedzina:

$5 x^{2} + 9 x - 2 \neq = 0$

$(5 x - 1) (x + 2) \neq = 0$

$5 x - 1 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0$

$x \neq = \frac{1}{5} x \neq = - 2$

czyli

$\underline{x \in R \ {- 2, \frac{1}{5}}}$

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$\frac{25 x ^{3} + 50 x ^{2} - x - 2}{5 x ^{2} + 9 x - 2} = \frac{( x + 2 ) ( 5 x - 1 ) ( 5 x + 1 )}{( 5 x - 1 ) ( x + 2 )} = 5 x + 1$

$\frac{2 x ^{3} + 2 x - 4}{x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 3}$

$2 x^{3} + 2 x - 4 = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4 =$

$= 2 x^{2} (x - 1) + 2 x (x - 1) + 4 (x - 1) = (x - 1) Δ = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = - 28 < 0 (2 x^{2} + 2 x + 4)$

II.

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3 = x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 3)$

Dziedzina:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3 \neq = 0$

$(x - 1) (x^{2} + 3) \neq = 0$

$x - 1 \neq = 0 \land x^{2} + 3 \neq = 0$

$x \neq = 1 wyra \overset{z}{˙} enie prawdziwe dla x \in R, bo x^{2} \geq 0 x^{2} \neq = - 3$

czyli

$\underline{x \in R \ {1}}$

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$\frac{2 x ^{3} + 2 x - 4}{x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 3} = \frac{( x - 1 ) ( 2 x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 3 )} = \frac{2 x ^{2} + 2 x + 4}{x ^{2} + 3}$

$\frac{216 x ^{3} + 8}{12 x ^{2} - 20 x - 8}$

$216 x^{3} + 8 = (6 x)^{3} + 2^{3} = (6 x + 2) ((6 x)^{2} - 6 x \cdot 2 + 2^{2}) =$

$= (6 x + 2) Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 36 \cdot 4 = - 432 < 0 (36 x^{2} - 12 x + 4)$

II.

$12 x^{2} - 20 x - 8 = 12 x^{2} - 24 x + 4 x = - 20 x - 8 = 12 x (x - 2) + 4 (x - 2) =$

$= (x - 2) (12 x + 4)$

Dziedzina:

$12 x^{2} - 20 x - 8 \neq = 0$

$(x - 2) (12 x + 4) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 0 \land 12 x + 4 \neq = 0$

$x \neq = 2 x \neq = - \frac{1}{3}$

czyli

$\underline{x \in R \ {- \frac{1}{3}, 2}}$

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$\frac{216 x ^{3} + 8}{12 x ^{2} - 20 x - 8} = \frac{( 6 x + 2 ) ( 36 x ^{2} - 12 x + 4 )}{( x - 2 ) ( 12 x + 4 )} = \frac{2 ( 3 x + 1 ) ( 36 x ^{2} - 12 x + 4 )}{( x - 2 ) \cdot 4 ( 3 x + 1 )} =$