Rozszerz dane ułamki tak...- Zadanie 1.18: Matematyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$x^{2} - 6 x = x (x - 6)$

Zatem mamy:

$\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot ( x - 6 )}{x \cdot ( x - 6 )} = \frac{3 x - 18}{x ^{2} - 6 x}$

Założenie:

$x^{2} - 6 x \neq = 0$

$x (x - 6) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 6 \neq = 0$

$x \neq = 6$

więc

$x \in R \ {0, 6}$

Zauważmy, że

$6 x^{2} - 3 x^{3} = 3 x^{2} (2 - x) = - 3 x^{2} (x - 2)$

Zatem mamy:

$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{( x - 1 ) \cdot ( - 3 x ^{2} )}{( x - 2 ) \cdot ( - 3 x ^{2} )} = \frac{- 3 x ^{3} + 3 x ^{2}}{6 x ^{2} - 3 x ^{3}}$

Założenie:

$6 x^{2} - 3 x^{3} \neq = 0$

$- 3 x^{2} (x - 2) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 2$

czyli

$x \in R \ {0, 2}$

Zauważmy, że

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - = - x 2 x + x - 2 = x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (x + 1)$

Zatem mamy:

$\frac{3}{x - 2} = \frac{3 \cdot ( x + 1 )}{( x - 2 ) \cdot ( x + 1 )} = \frac{3 x + 3}{x ^{2} - x - 2}$

Założenie:

$x^{2} - x - 2 \neq = 0$

$(x - 2) (x + 1) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 2 x \neq = - 1$

czyli

$x \in R \ {- 1, 2}$

Zauważmy, że

$2 x^{2} + 4 x + 2 = 2 (x^{2} + 2 x + 1) = 2 (x + 1)^{2} = 2 (x + 1)^{2}$

Zatem mamy:

$\frac{x}{x + 1} = \frac{x \cdot 2 ( x + 1 )}{( x + 1 ) \cdot 2 \cdot ( x + 1 )} = \frac{2 x ^{2} + 2 x}{2 x ^{2} + 4 x + 2}$

Założenie:

$2 x^{2} + 4 x + 2 \neq = 0$

$2 (x + 1)^{2} \neq = 0$

$x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 1$

czyli

$x \in R \ {- 1}$

Zauważmy, że

$x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Zatem mamy:

$\frac{5}{x - 2} = \frac{5 \cdot ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) \cdot ( x ^{2} + 2 x + 4 )} = \frac{5 x ^{2} + 10 x + 20}{x ^{3} - 8}$

Założenie:

$x^{3} - 8 \neq = 0$

$x^{3} \neq = 8$

$x \neq = 2$

czyli

$x \in R \ {2}$

Zauważmy, że

$x^{3} + 1 = x^{3} + 1^{3} = (x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Zatem mamy

$\frac{x + 2}{x ^{2} - x + 1} = \frac{( x + 2 ) \cdot ( x + 1 )}{( x ^{2} - x + 1 ) \cdot ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 2 x + 2}{x ^{3} + 1} = \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{3} + 1}$

Założenie:

$x^{3} + 1 \neq = 0$

$x^{3} \neq = - 1$

$x \neq = - 1$

czyli

$x \in R \ {- 1}$

Paulina Adamska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.